Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \ln (x^{2})$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.3.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $x$ .

$\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.4.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.4.2

Combina $\frac{2}{x}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.4.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.4.3.2

Divide $2$ por $1$ .

$2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 + \ln (x^{2}) \cdot 1$

Paso 1.3.6

Multiplica $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$2 + \ln (x^{2})$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 + \ln (x^{2}) = 0$ .

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Paso 2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln (x^{2}) = - 2$

Paso 2.2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 2}$

Paso 2.3

Reescribe $\ln (x^{2}) = - 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x^{2}$

Paso 2.4

Resuelve $x$

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Paso 2.4.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} = e^{- 2}$ .

$x^{2} = e^{- 2}$

Paso 2.4.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{e^{- 2}}$

Paso 2.4.3

Simplifica $\pm \sqrt{e^{- 2}}$ .

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Paso 2.4.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$

Paso 2.4.3.2

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$

Paso 2.4.3.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e^{2}}}$

Paso 2.4.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{1}{e}$

Paso 2.4.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.4.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{1}{e}$

Paso 2.4.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{1}{e}$

Paso 2.4.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = x \ln (x^{2})$ en $x = \frac{1}{e}$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{e}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln ({(\frac{1}{e})}^{2})$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

Paso 3.2.2

Mueve $e^{2}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

Paso 3.2.3

Reescribe $\ln (1^{2} e^{- 2})$ como $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

Paso 3.2.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 2$ fuera del exponente.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

Paso 3.2.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

Paso 3.2.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

Paso 3.2.7

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.7.1

Expande $\ln (1^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

Paso 3.2.7.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

Paso 3.2.7.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

Paso 3.2.8

Combina fracciones.

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Paso 3.2.8.1

Resta $2$ de $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 2$

Paso 3.2.8.2

Combina $\frac{1}{e}$ y $- 2$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 2}{e}$

Paso 3.2.8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{2}{e}$

Paso 3.2.9

La respuesta final es $- \frac{2}{e}$ .

$- \frac{2}{e}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x \ln (x^{2})$ en $x = - \frac{1}{e}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{e}$ en la expresión.

$f (- \frac{1}{e}) = (- \frac{1}{e}) \ln ({(- \frac{1}{e})}^{2})$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{e})}^{2})$

Paso 4.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

Paso 4.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1 (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

Paso 4.2.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{e^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

Paso 4.2.4

Mueve $e^{2}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

Paso 4.2.5

Reescribe $\ln (1^{2} e^{- 2})$ como $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

Paso 4.2.6

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 2$ fuera del exponente.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

Paso 4.2.7

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

Paso 4.2.8

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

Paso 4.2.9

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.9.1

Expande $\ln (1^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

Paso 4.2.9.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

Paso 4.2.9.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

Paso 4.2.10

Resta $2$ de $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot - 2$

Paso 4.2.11

Multiplica $- \frac{1}{e} \cdot - 2$ .

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Paso 4.2.11.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 2 (\frac{1}{e})$

Paso 4.2.11.2

Combina $2$ y $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{2}{e}$

Paso 4.2.12

La respuesta final es $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Paso 5

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x \ln (x^{2})$ son $y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$ .

$y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$

Paso 6