Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 2

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = (x + 1) (x - 1)$ y $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)] - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.4.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.8.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.8.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.8.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.8.4.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.8.4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.12

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.13

Suma $2 x + 1$ y $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x - (x + 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (x + 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.4.4.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x - 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.5

Expande $(- x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.4.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x (x - 1) - 1 (x - 1)) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.4.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.1.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.4.1.6.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.6.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.6.1.2

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

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Paso 3.4.4.1.6.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.6.1.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + x - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.6.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + x - x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + x - x + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.6.2

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 0 + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.6.3

Suma $- x^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.7

Expande $(- x^{2} + 1) (2 x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.4.1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.1.8.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.8.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.4.1.8.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.8.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.4.4.1.8.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.8.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.8.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.8.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.8.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.8.5

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.1.8.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$ .

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Paso 3.4.4.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 0 - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.2.2

Suma $2 x^{2} + 2 x$ y $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.3

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.4.4

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 4.1

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.3

Resta $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Paso 4.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 4.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.3

Resta $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.2.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Paso 4.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Paso 4.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.3

Resta $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.2.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Paso 4.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Paso 4.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + x + 1}$ en $x = - 2 + \sqrt{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2 + \sqrt{3}$ en la expresión.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{((- 2 + \sqrt{3}) + 1) ((- 2 + \sqrt{3}) - 1)}{{(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{((- 2 + \sqrt{3}) + 1) ((- 2 + \sqrt{3}) - 1)}{{(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Suma $- 2$ y $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3} - 1)}{{(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2.2.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{{(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Reescribe ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3}) - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2.3.2

Expande $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{- 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3}) - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3}) - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.3.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2.3.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2.3.3.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2.3.3.1.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2.3.3.1.5

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2.3.3.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3 - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2.3.3.2

Suma $4$ y $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2.3.3.3

Resta $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{7 - 4 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2.3.4

Resta $2$ de $7$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{5 - 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}$

Paso 5.2.3.5

Suma $5$ y $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{6 - 4 \sqrt{3} + \sqrt{3}}$

Paso 5.2.3.6

Suma $- 4 \sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Paso 5.2.4

Expande $(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 (- 3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 3 + \sqrt{3})}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Paso 5.2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot - 3 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 3 + \sqrt{3})}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Paso 5.2.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot - 3 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Paso 5.2.5

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Paso 5.2.5.1.2

Reescribe $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Paso 5.2.5.1.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} - 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Paso 5.2.5.1.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Paso 5.2.5.1.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Paso 5.2.5.1.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Paso 5.2.5.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Paso 5.2.5.2

Suma $3$ y $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 - \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Paso 5.2.5.3

Resta $3 \sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 - 4 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Paso 5.2.6

Multiplica $\frac{6 - 4 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$ por $\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 - 4 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}} \cdot \frac{6 + 3 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 5.2.7

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.7.1

Multiplica $\frac{6 - 4 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$ por $\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(6 - 4 \sqrt{3}) (6 + 3 \sqrt{3})}{(6 - 3 \sqrt{3}) (6 + 3 \sqrt{3})}$

Paso 5.2.7.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(6 - 4 \sqrt{3}) (6 + 3 \sqrt{3})}{36 + 18 \sqrt{3} - 18 \sqrt{3} - 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 5.2.7.3

Simplifica.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(6 - 4 \sqrt{3}) (6 + 3 \sqrt{3})}{9}$

Paso 5.2.7.4

Cancela el factor común de $6 + 3 \sqrt{3}$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.7.4.1

Factoriza $3$ de $(6 - 4 \sqrt{3}) (6 + 3 \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 - 4 \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{9}$

Paso 5.2.7.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.7.4.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 - 4 \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{3 (3)}$

Paso 5.2.7.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 - 4 \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{3 \cdot 3}$

Paso 5.2.7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(6 - 4 \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{3}$

Paso 5.2.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.1

Expande $(6 - 4 \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 (2 + \sqrt{3}) - 4 \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{3}$

Paso 5.2.8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{3}$

Paso 5.2.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \cdot 2 - 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.2.8.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.2.1.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \cdot 2 - 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.2.8.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.2.8.2.1.3

Multiplica $- 4 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.2.1.3.1

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Paso 5.2.8.2.1.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Paso 5.2.8.2.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Paso 5.2.8.2.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Paso 5.2.8.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Paso 5.2.8.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Paso 5.2.8.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Paso 5.2.8.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.8.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Paso 5.2.8.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3}{3}$

Paso 5.2.8.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3}{3}$

Paso 5.2.8.2.1.5

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 12}{3}$

Paso 5.2.8.2.2

Resta $12$ de $12$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{0 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.2.8.2.3

Suma $0$ y $6 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.2.8.2.4

Resta $8 \sqrt{3}$ de $6 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.2.10

La respuesta final es $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 6

Resuelve la función original $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + x + 1}$ en $x = - 2 - \sqrt{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2 - \sqrt{3}$ en la expresión.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{((- 2 - \sqrt{3}) + 1) ((- 2 - \sqrt{3}) - 1)}{{(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{((- 2 - \sqrt{3}) + 1) ((- 2 - \sqrt{3}) - 1)}{{(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Suma $- 2$ y $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3} - 1)}{{(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.2.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{{(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Reescribe ${(- 2 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.2

Expande $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{- 2 (- 2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.3.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3.1.4

Multiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3.1.4.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3 - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3.1.5.5

Evalúa el exponente.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3 - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3.2

Suma $4$ y $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.3.3

Suma $2 \sqrt{3}$ y $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{7 + 4 \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.4

Resta $2$ de $7$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{5 + 4 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1}$

Paso 6.2.3.5

Suma $5$ y $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{6 + 4 \sqrt{3} - \sqrt{3}}$

Paso 6.2.3.6

Resta $\sqrt{3}$ de $4 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.4

Expande $(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 (- 3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 3 - \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot - 3 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 3 - \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot - 3 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.1.2

Multiplica $- 1 (- \sqrt{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.1.2.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.1.4

Multiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.5.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.1.4.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.5.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.5.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.1.5.5

Evalúa el exponente.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.2

Suma $3$ y $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.5.3

Suma $\sqrt{3}$ y $3 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 + 4 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.6

Multiplica $\frac{6 + 4 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$ por $\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 + 4 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}} \cdot \frac{6 - 3 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.7

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.7.1

Multiplica $\frac{6 + 4 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$ por $\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(6 + 4 \sqrt{3}) (6 - 3 \sqrt{3})}{(6 + 3 \sqrt{3}) (6 - 3 \sqrt{3})}$

Paso 6.2.7.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(6 + 4 \sqrt{3}) (6 - 3 \sqrt{3})}{36 - 18 \sqrt{3} + 18 \sqrt{3} - 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 6.2.7.3

Simplifica.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(6 + 4 \sqrt{3}) (6 - 3 \sqrt{3})}{9}$

Paso 6.2.7.4

Cancela el factor común de $6 - 3 \sqrt{3}$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.7.4.1

Factoriza $3$ de $(6 + 4 \sqrt{3}) (6 - 3 \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 + 4 \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{9}$

Paso 6.2.7.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.7.4.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 + 4 \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{3 (3)}$

Paso 6.2.7.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 + 4 \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{3 \cdot 3}$

Paso 6.2.7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(6 + 4 \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{3}$

Paso 6.2.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.8.1

Expande $(6 + 4 \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{3}$

Paso 6.2.8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{3}$

Paso 6.2.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} \cdot 2 + 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3}$

Paso 6.2.8.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.8.2.1.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 (- \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} \cdot 2 + 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3}$

Paso 6.2.8.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \cdot 2 + 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3}$

Paso 6.2.8.2.1.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3}$

Paso 6.2.8.2.1.4

Multiplica $4 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.8.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3}$

Paso 6.2.8.2.1.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Paso 6.2.8.2.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Paso 6.2.8.2.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Paso 6.2.8.2.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Paso 6.2.8.2.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.8.2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Paso 6.2.8.2.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Paso 6.2.8.2.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Paso 6.2.8.2.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.8.2.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Paso 6.2.8.2.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3}{3}$

Paso 6.2.8.2.1.5.5

Evalúa el exponente.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3}{3}$

Paso 6.2.8.2.1.6

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 12}{3}$

Paso 6.2.8.2.2

Resta $12$ de $12$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{0 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}}{3}$

Paso 6.2.8.2.3

Resta $6 \sqrt{3}$ de $0$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}}{3}$

Paso 6.2.8.2.4

Suma $- 6 \sqrt{3}$ y $8 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 6.2.9

La respuesta final es $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 7

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + x + 1}$ son $y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, y = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, y = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 8