Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 4 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$4 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} - 8 x + 0$

Paso 2.3.2

Suma $4 x^{3} - 8 x$ y $0$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

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Paso 3.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 8 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 3.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.4

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $x^{2} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 3.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 3.4.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 3.4.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 3.4.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x^{2} - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ en $x = 0$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 1$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 1$

Paso 4.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = 1$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ en $x = \sqrt{2}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{2}$ en la expresión.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Paso 5.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Paso 5.2.1.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 5.2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Paso 5.2.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Paso 5.2.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Paso 5.2.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Paso 5.2.1.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Paso 5.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Paso 5.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Paso 5.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Paso 5.2.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

Paso 5.2.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

Paso 5.2.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Paso 5.2.1.3.5

Evalúa el exponente.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8 + 1$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $8$ de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 1$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$f (\sqrt{2}) = - 3$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 6

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ son $y = 1, y = - 3, y = - 3$ .

$y = 1, y = - 3, y = - 3$

Paso 7