Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} - 2 x + 1$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x^{4} - 2 x + 1$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$4 x^{3} - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} - 2 + 0$

Paso 2.3.2

Suma $4 x^{3} - 2$ y $0$ .

$4 x^{3} - 2$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 2 = 0$ .

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Paso 3.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} = 2$

Paso 3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} - 2 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $2$ de $4 x^{3} - 2$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) - 2 = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 1) = 0$

Paso 3.3.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$

Paso 3.4

Divide cada término en $2 (2 x^{3} - 1) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $2 (2 x^{3} - 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $2 x^{3} - 1$ por $1$ .

$2 x^{3} - 1 = \frac{0}{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$2 x^{3} - 1 = 0$

Paso 3.5

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} = 1$

Paso 3.6

Divide cada término en $2 x^{3} = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.6.1

Divide cada término en $2 x^{3} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.6.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{1}{2}$

Paso 3.7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

Paso 3.8

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.8.1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$

Paso 3.8.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Paso 3.8.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.8.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.8.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.8.4.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.8.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Paso 3.8.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Paso 3.8.4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Paso 3.8.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.8.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.8.4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.8.4.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.8.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.8.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Paso 3.8.4.5.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Paso 3.8.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Paso 3.8.5.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ en $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}^{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{4}}^{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Paso 4.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{4}$ como $\sqrt[3]{4^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{4}}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Paso 4.2.1.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{256}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Paso 4.2.1.2.3

Reescribe $256$ como $4^{3} \cdot 4$ .

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Paso 4.2.1.2.3.1

Factoriza $64$ de $256$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{64 (4)}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Paso 4.2.1.2.3.2

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Paso 4.2.1.2.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Paso 4.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Paso 4.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 (\sqrt[3]{4})}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Paso 4.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.4.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Paso 4.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Paso 4.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Paso 4.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

Paso 4.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

Paso 4.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 1 \sqrt[3]{4} + 1$

Paso 4.2.1.6

Reescribe $- 1 \sqrt[3]{4}$ como $- \sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} + 1$

Paso 4.2.2

Para escribir $- \sqrt[3]{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Paso 4.2.3

Combina fracciones.

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Paso 4.2.3.1

Combina $- \sqrt[3]{4}$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + \frac{- \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

Paso 4.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.4.1.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - 4 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Paso 4.2.4.1.2

Resta $4 \sqrt[3]{4}$ de $\sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Paso 4.2.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Paso 4.2.5

La respuesta final es $- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Paso 5

La tangente horizontal en la función $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ es $y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ .

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Forma decimal:

$y = - 0.19055078 \dots$

Paso 7