Cálculo Ejemplos

$y = 12 \sqrt{x}$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = 12 \sqrt{x}$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$12 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$12 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 2.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$12 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$12 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 2.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$12 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.10

Combina $12$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{12 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.12

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.13.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{6}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece el numerador igual a cero.

$6 = 0$

Paso 3.2

Como $6 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 4

No se obtiene ninguna solución al hacer que la derivada sea igual a $0$ , $\frac{6}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ , por lo que no hay tangentes horizontales.

No se obtuvieron rectas tangentes horizontales

Paso 5