Cálculo Ejemplos

$y = 2 x^{2} + 6 x - 7$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = 2 x^{2} + 6 x - 7$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 6 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 2.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$4 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x + 6 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $4 x + 6$ y $0$ .

$4 x + 6$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $4 x + 6 = 0$ .

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Paso 3.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 6$

Paso 3.2

Divide cada término en $4 x = - 6$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $4 x = - 6$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 6}{4}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 6}{4}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{4}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $4$ .

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Paso 3.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$x = \frac{2 (- 3)}{4}$

Paso 3.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Paso 3.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Paso 3.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 3}{2}$

Paso 3.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{2}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = 2 x^{2} + 6 x - 7$ en $x = - \frac{3}{2}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 6 (- \frac{3}{2}) - 7$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{3}{2}) - 7$

Paso 4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{3}{2}) - 7$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 2 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{3}{2}) - 7$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{3}{2}) - 7$

Paso 4.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2^{2}}) + 6 (- \frac{3}{2}) - 7$

Paso 4.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{4}) + 6 (- \frac{3}{2}) - 7$

Paso 4.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 (2)}) + 6 (- \frac{3}{2}) - 7$

Paso 4.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 2}) + 6 (- \frac{3}{2}) - 7$

Paso 4.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 6 (- \frac{3}{2}) - 7$

Paso 4.2.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 6 (\frac{- 3}{2}) - 7$

Paso 4.2.1.7.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 (3) (\frac{- 3}{2}) - 7$

Paso 4.2.1.7.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2})) - 7$

Paso 4.2.1.7.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 3 \cdot - 3 - 7$

Paso 4.2.1.8

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 9 - 7$

Paso 4.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.2.2.1

Escribe $- 9$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9}{1} - 7$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} - 7$

Paso 4.2.2.3

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} - 7$

Paso 4.2.2.4

Escribe $- 7$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 7}{1}$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $\frac{- 7}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 4.2.2.6

Multiplica $\frac{- 7}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 7 \cdot 2}{2}$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 - 7 \cdot 2}{2}$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 - 14}{2}$

Paso 4.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.5.1

Resta $18$ de $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9 - 14}{2}$

Paso 4.2.5.2

Resta $14$ de $- 9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 23}{2}$

Paso 4.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{23}{2}$

Paso 4.2.6

La respuesta final es $- \frac{23}{2}$ .

$- \frac{23}{2}$

Paso 5

La tangente horizontal en la función $f (x) = 2 x^{2} + 6 x - 7$ es $y = - \frac{23}{2}$ .

$y = - \frac{23}{2}$

Paso 6