Cálculo Ejemplos

$y = 2 x^{2} + 5 x$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x + 5 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$4 x + 5$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $4 x + 5 = 0$ .

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Paso 3.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 5$

Paso 3.2

Divide cada término en $4 x = - 5$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $4 x = - 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{4}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = 2 x^{2} + 5 x$ en $x = - \frac{5}{4}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{5}{4}$ en la expresión.

$f (- \frac{5}{4}) = 2 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 5 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (1 (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.2.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{16}) + 5 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 (8)}) + 5 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 \cdot 8}) + 5 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + 5 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.2.1.7

Multiplica $5 (- \frac{5}{4})$ .

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Paso 4.2.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - 5 (\frac{5}{4})$

Paso 4.2.1.7.2

Combina $- 5$ y $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 5 \cdot 5}{4}$

Paso 4.2.1.7.3

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 25}{4}$

Paso 4.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4}$

Paso 4.2.2

Para escribir $- \frac{25}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 4.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $\frac{25}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{8}$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 25 \cdot 2}{8}$

Paso 4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $- 25$ por $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50}{8}$

Paso 4.2.5.2

Resta $50$ de $25$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 25}{8}$

Paso 4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{5}{4}) = - \frac{25}{8}$

Paso 4.2.7

La respuesta final es $- \frac{25}{8}$ .

$- \frac{25}{8}$

Paso 5

La tangente horizontal en la función $f (x) = 2 x^{2} + 5 x$ es $y = - \frac{25}{8}$ .

$y = - \frac{25}{8}$

Paso 6