Cálculo Ejemplos

$y = 1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$

Paso 1

Simplifica $1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$ .

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Paso 1.1

Mueve $1$ .

$y = 40 x^{3} - 3 x^{5} + 1$

Paso 1.2

Reordena $40 x^{3}$ y $- 3 x^{5}$ .

$y = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

Paso 2

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.2.3

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $40$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $40 x^{3}$ con respecto a $x$ es $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 15 x^{4} + 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 15 x^{4} + 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.3.3

Multiplica $3$ por $40$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 0$

Paso 3.4.2

Suma $- 15 x^{4} + 120 x^{2}$ y $0$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2}$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 15 x^{4} + 120 x^{2} = 0$ .

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Paso 4.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 120 x^{2} = 0$

Paso 4.1.2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 15 u^{2} + 120 u = 0$

Paso 4.1.3

Factoriza $15 u$ de $- 15 u^{2} + 120 u$ .

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Paso 4.1.3.1

Factoriza $15 u$ de $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 120 u = 0$

Paso 4.1.3.2

Factoriza $15 u$ de $120 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (8) = 0$

Paso 4.1.3.3

Factoriza $15 u$ de $15 u (- u) + 15 u (8)$ .

$15 u (- u + 8) = 0$

Paso 4.1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$

Paso 4.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 8 = 0$

Paso 4.3

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 4.3.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 4.3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4.4

Establece $- x^{2} + 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.4.1

Establece $- x^{2} + 8$ igual a $0$ .

$- x^{2} + 8 = 0$

Paso 4.4.2

Resuelve $- x^{2} + 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.4.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 8$

Paso 4.4.2.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 8$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.4.2.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 4.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 4.4.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 4.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.2.3.1

Divide $- 8$ por $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Paso 4.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Paso 4.4.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{8}$ .

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Paso 4.4.2.4.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.4.2.4.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Paso 4.4.2.4.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 4.4.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 4.4.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.4.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 \sqrt{2}$

Paso 4.4.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Paso 4.4.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Paso 4.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ en $x = 0$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - 3 {(0)}^{5} + 40 {(0)}^{3} + 1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

Paso 5.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 40 \cdot 0 + 1$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $40$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Paso 5.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = 1$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 6

Resuelve la función original $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ en $x = 2 \sqrt{2}$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2 \sqrt{2}$ en la expresión.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 {(2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (2^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 6.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 6.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{5}$ como $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 6.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{32}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 6.2.1.5

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.2.1.5.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 6.2.1.5.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 6.2.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 6.2.1.7

Multiplica $4$ por $32$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (128 \sqrt{2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 6.2.1.8

Multiplica $128$ por $- 3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 6.2.1.9

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (2^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Paso 6.2.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Paso 6.2.1.11

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

Paso 6.2.1.12

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{8}) + 1$

Paso 6.2.1.13

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 6.2.1.13.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

Paso 6.2.1.13.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

Paso 6.2.1.14

Retira los términos de abajo del radical.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 (2 \sqrt{2})) + 1$

Paso 6.2.1.15

Multiplica $2$ por $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (16 \sqrt{2}) + 1$

Paso 6.2.1.16

Multiplica $16$ por $40$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 640 \sqrt{2} + 1$

Paso 6.2.2

Suma $- 384 \sqrt{2}$ y $640 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 256 \sqrt{2} + 1$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $256 \sqrt{2} + 1$ .

$256 \sqrt{2} + 1$

Paso 7

Resuelve la función original $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ en $x = - 2 \sqrt{2}$ .

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2 \sqrt{2}$ en la expresión.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 ({(- 2)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 7.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $5$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 7.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{5}$ como $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 7.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{32}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 7.2.1.5

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 7.2.1.5.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 7.2.1.5.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 7.2.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 7.2.1.7

Multiplica $4$ por $- 32$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 128 \sqrt{2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 7.2.1.8

Multiplica $- 128$ por $- 3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Paso 7.2.1.9

Aplica la regla del producto a $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 ({(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Paso 7.2.1.10

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Paso 7.2.1.11

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

Paso 7.2.1.12

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{8}) + 1$

Paso 7.2.1.13

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 7.2.1.13.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

Paso 7.2.1.13.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

Paso 7.2.1.14

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 (2 \sqrt{2})) + 1$

Paso 7.2.1.15

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 16 \sqrt{2}) + 1$

Paso 7.2.1.16

Multiplica $- 16$ por $40$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} - 640 \sqrt{2} + 1$

Paso 7.2.2

Resta $640 \sqrt{2}$ de $384 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 256 \sqrt{2} + 1$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 256 \sqrt{2} + 1$ .

$- 256 \sqrt{2} + 1$

Paso 8

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ son $y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$ .

$y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$

Paso 9