Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{2} - 5 x + 4$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 4$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 5 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$6 x - 5 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x - 5 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $6 x - 5$ y $0$ .

$6 x - 5$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x - 5 = 0$ .

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Paso 3.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 5$

Paso 3.2

Divide cada término en $6 x = 5$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $6 x = 5$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{5}{6}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{5}{6}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{6}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 4$ en $x = \frac{5}{6}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{5}{6}) = 3 {(\frac{5}{6})}^{2} - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{5^{2}}{6^{2}}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Paso 4.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{6^{2}}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Paso 4.2.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{36}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Paso 4.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $36$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{3 (12)}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Paso 4.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{3 \cdot 12}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Paso 4.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $- 5 (\frac{5}{6})$ .

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Paso 4.2.1.5.1

Combina $- 5$ y $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} + \frac{- 5 \cdot 5}{6} + 4$

Paso 4.2.1.5.2

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} + \frac{- 25}{6} + 4$

Paso 4.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25}{6} + 4$

Paso 4.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{25}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - (\frac{25}{6} \cdot \frac{2}{2}) + 4$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $\frac{25}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + 4$

Paso 4.2.2.3

Escribe $4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{4}{1}$

Paso 4.2.2.4

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 12}{12}$

Paso 4.2.2.6

Reordena los factores de $6 \cdot 2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 12}{12}$

Paso 4.2.2.7

Multiplica $2$ por $6$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{12} + \frac{4 \cdot 12}{12}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 + 4 \cdot 12}{12}$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.1

Multiplica $- 25$ por $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 - 50 + 4 \cdot 12}{12}$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $4$ por $12$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 - 50 + 48}{12}$

Paso 4.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.5.1

Resta $50$ de $25$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{- 25 + 48}{12}$

Paso 4.2.5.2

Suma $- 25$ y $48$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{23}{12}$

Paso 4.2.6

La respuesta final es $\frac{23}{12}$ .

$\frac{23}{12}$

Paso 5

La tangente horizontal en la función $f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 4$ es $y = \frac{23}{12}$ .

$y = \frac{23}{12}$

Paso 6