Cálculo Ejemplos

$y = 4 x^{2} + 6 x - 9$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = 4 x^{2} + 6 x - 9$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 6 x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$8 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 x + 6 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $8 x + 6$ y $0$ .

$8 x + 6$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $8 x + 6 = 0$ .

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Paso 3.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$8 x = - 6$

Paso 3.2

Divide cada término en $8 x = - 6$ por $8$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $8 x = - 6$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 6}{8}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 6}{8}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{8}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $8$ .

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Paso 3.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$x = \frac{2 (- 3)}{8}$

Paso 3.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4}$

Paso 3.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4}$

Paso 3.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 3}{4}$

Paso 3.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{4}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = 4 x^{2} + 6 x - 9$ en $x = - \frac{3}{4}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{4}$ en la expresión.

$f (- \frac{3}{4}) = 4 {(- \frac{3}{4})}^{2} + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Paso 4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (1 (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $\frac{3^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Paso 4.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{9}{4^{2}}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Paso 4.2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{9}{16}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Paso 4.2.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.6.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{9}{4 (4)}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Paso 4.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{9}{4 \cdot 4}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Paso 4.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Paso 4.2.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{4}$ al numerador.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 6 (\frac{- 3}{4}) - 9$

Paso 4.2.1.7.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 2 (3) (\frac{- 3}{4}) - 9$

Paso 4.2.1.7.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2 \cdot 2})) - 9$

Paso 4.2.1.7.4

Cancela el factor común.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2 \cdot 2})) - 9$

Paso 4.2.1.7.5

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 3 (\frac{- 3}{2}) - 9$

Paso 4.2.1.8

Combina $3$ y $\frac{- 3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{2} - 9$

Paso 4.2.1.9

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} - 9$

Paso 4.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 9$

Paso 4.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 9$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 9$

Paso 4.2.2.3

Escribe $- 9$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 9}{1}$

Paso 4.2.2.4

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}$

Paso 4.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 9 \cdot 4}{4}$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 9 \cdot 4}{4}$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $- 9$ por $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 36}{4}$

Paso 4.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.5.1

Resta $18$ de $9$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 9 - 36}{4}$

Paso 4.2.5.2

Resta $36$ de $- 9$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 45}{4}$

Paso 4.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{45}{4}$

Paso 4.2.6

La respuesta final es $- \frac{45}{4}$ .

$- \frac{45}{4}$

Paso 5

La tangente horizontal en la función $f (x) = 4 x^{2} + 6 x - 9$ es $y = - \frac{45}{4}$ .

$y = - \frac{45}{4}$

Paso 6