Cálculo Ejemplos

$y = \sin (x)$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = \sin (x)$

Paso 2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\cos (x) = 0$ .

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Paso 3.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 3.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 3.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 3.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.4.2

Combina fracciones.

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Paso 3.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 3.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 3.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 3.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.7

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = \sin (x)$ en $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Paso 4.2.2

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = \sin (x)$ en $x = \frac{π}{2} + π$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2} + π$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + π)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Paso 5.2.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Paso 5.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Paso 5.2.3.2

Suma $π$ y $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 5.2.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$f (\frac{π}{2} + π) = - \sin (\frac{π}{2})$

Paso 5.2.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

Paso 5.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Paso 5.2.7

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 6

La tangente horizontal en la función $f (x) = \sin (x)$ es $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Paso 7