Cálculo Ejemplos

$y = \sin (5 x) + \cos (2 x)$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (5 x) + \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $5 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 2.2.1.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x$ .

$\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 2.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (5 x) (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 2.2.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$\cos (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 2.2.5

Mueve $5$ a la izquierda de $\cos (5 x)$ .

$5 \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$5 \cos (5 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.1.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) \cdot 2$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$5 \cos (5 x) - 2 \sin (2 x)$

Paso 3

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx 0.27239707, - 0.36860767, - 0.86117382, 1.01576505, - 1.57079632, 1.57079632, 2.12582759$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ en $x = 0.27239707$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.27239707$ en la expresión.

$f (0.27239707) = \sin (5 (0.27239707)) + \cos (2 (0.27239707))$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $5$ por $0.27239707$ .

$f (0.27239707) = \sin (1.36198538) + \cos (2 (0.27239707))$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $2$ por $0.27239707$ .

$f (0.27239707) = \sin (1.36198538) + \cos (0.54479415)$

Paso 4.2.2

La respuesta final es $\sin (1.36198538) + \cos (0.54479415)$ .

$\sin (1.36198538) + \cos (0.54479415)$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ en $x = - 0.36860767$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.36860767$ en la expresión.

$f (- 0.36860767) = \sin (5 (- 0.36860767)) + \cos (2 (- 0.36860767))$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $5$ por $- 0.36860767$ .

$f (- 0.36860767) = \sin (- 1.84303835) + \cos (2 (- 0.36860767))$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 0.36860767$ .

$f (- 0.36860767) = \sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534)$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $\sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534)$ .

$\sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534)$

Paso 6

Resuelve la función original $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ en $x = - 0.86117382$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.86117382$ en la expresión.

$f (- 0.86117382) = \sin (5 (- 0.86117382)) + \cos (2 (- 0.86117382))$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $5$ por $- 0.86117382$ .

$f (- 0.86117382) = \sin (- 4.3058691) + \cos (2 (- 0.86117382))$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 0.86117382$ .

$f (- 0.86117382) = \sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764)$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $\sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764)$ .

$\sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764)$

Paso 7

Resuelve la función original $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ en $x = 1.01576505$ .

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.01576505$ en la expresión.

$f (1.01576505) = \sin (5 (1.01576505)) + \cos (2 (1.01576505))$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $5$ por $1.01576505$ .

$f (1.01576505) = \sin (5.07882527) + \cos (2 (1.01576505))$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $2$ por $1.01576505$ .

$f (1.01576505) = \sin (5.07882527) + \cos (2.0315301)$

Paso 7.2.2

La respuesta final es $\sin (5.07882527) + \cos (2.0315301)$ .

$\sin (5.07882527) + \cos (2.0315301)$

Paso 8

Resuelve la función original $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ en $x = - 1.57079632$ .

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.57079632$ en la expresión.

$f (- 1.57079632) = \sin (5 (- 1.57079632)) + \cos (2 (- 1.57079632))$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Multiplica $5$ por $- 1.57079632$ .

$f (- 1.57079632) = \sin (- 7.85398163) + \cos (2 (- 1.57079632))$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 1.57079632$ .

$f (- 1.57079632) = \sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265)$

Paso 8.2.2

La respuesta final es $\sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265)$ .

$\sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265)$

Paso 9

Resuelve la función original $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ en $x = 1.57079632$ .

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.57079632$ en la expresión.

$f (1.57079632) = \sin (5 (1.57079632)) + \cos (2 (1.57079632))$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Multiplica $5$ por $1.57079632$ .

$f (1.57079632) = \sin (7.85398163) + \cos (2 (1.57079632))$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $2$ por $1.57079632$ .

$f (1.57079632) = \sin (7.85398163) + \cos (3.14159265)$

Paso 9.2.2

La respuesta final es $\sin (7.85398163) + \cos (3.14159265)$ .

$\sin (7.85398163) + \cos (3.14159265)$

Paso 10

Resuelve la función original $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ en $x = 2.12582759$ .

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.12582759$ en la expresión.

$f (2.12582759) = \sin (5 (2.12582759)) + \cos (2 (2.12582759))$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1.1

Multiplica $5$ por $2.12582759$ .

$f (2.12582759) = \sin (10.62913799) + \cos (2 (2.12582759))$

Paso 10.2.1.2

Multiplica $2$ por $2.12582759$ .

$f (2.12582759) = \sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$

Paso 10.2.2

La respuesta final es $\sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$ .

$\sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$

Paso 11

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ son $y = \sin (1.36198538) + \cos (0.54479415), y = \sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534), y = \sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764), y = \sin (5.07882527) + \cos (2.0315301), y = \sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265), y = \sin (7.85398163) + \cos (3.14159265), y = \sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$ .

$y = \sin (1.36198538) + \cos (0.54479415), y = \sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534), y = \sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764), y = \sin (5.07882527) + \cos (2.0315301), y = \sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265), y = \sin (7.85398163) + \cos (3.14159265), y = \sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$

Paso 12