Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{2} x^{2} + 9 x$

Paso 1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 9 x$

Paso 2

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 9 x$

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2}}{2} + 9 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x]$

Paso 3.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [9 x]$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{2}{2}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [9 x]$

Paso 3.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [9 x]$

Paso 3.2.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [9 x]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x + 9 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x + 9 \cdot 1$

Paso 3.3.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$x + 9$

Paso 4

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 9$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 9 x$ en $x = - 9$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 9$ en la expresión.

$f (- 9) = \frac{{(- 9)}^{2}}{2} + 9 (- 9)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$f (- 9) = \frac{81}{2} + 9 (- 9)$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $9$ por $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{81}{2} - 81$

Paso 5.2.2

Para escribir $- 81$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 9) = \frac{81}{2} - 81 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.2.3

Combina $- 81$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (- 9) = \frac{81}{2} + \frac{- 81 \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 9) = \frac{81 - 81 \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $- 81$ por $2$ .

$f (- 9) = \frac{81 - 162}{2}$

Paso 5.2.5.2

Resta $162$ de $81$ .

$f (- 9) = \frac{- 81}{2}$

Paso 5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 9) = - \frac{81}{2}$

Paso 5.2.7

La respuesta final es $- \frac{81}{2}$ .

$- \frac{81}{2}$

Paso 6

La tangente horizontal en la función $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 9 x$ es $y = - \frac{81}{2}$ .

$y = - \frac{81}{2}$

Paso 7