Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 3$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} - 4 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$10 x - 4 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 x - 4 + 0$

Paso 1.4.2

Suma $10 x - 4$ y $0$ .

$10 x - 4$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $10 x - 4 = 0$ .

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Paso 2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$10 x = 4$

Paso 2.2

Divide cada término en $10 x = 4$ por $10$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $10 x = 4$ por $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{4}{10}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 x}{10} = \frac{4}{10}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{10}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común de $4$ y $10$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{10}$

Paso 2.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Paso 2.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Paso 2.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{5}$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 3$ en $x = \frac{2}{5}$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2}{5}$ en la expresión.

$f (\frac{2}{5}) = 5 {(\frac{2}{5})}^{2} - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Paso 3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5^{2}}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Paso 3.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{25}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Paso 3.2.1.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 (5)}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Paso 3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 \cdot 5}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Paso 3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $- 4 (\frac{2}{5})$ .

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Paso 3.2.1.5.1

Combina $- 4$ y $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 2}{5} + 3$

Paso 3.2.1.5.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 8}{5} + 3$

Paso 3.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - \frac{8}{5} + 3$

Paso 3.2.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2}{5}) = 3 + \frac{4 - 8}{5}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.2.2.1

Resta $8$ de $4$ .

$f (\frac{2}{5}) = 3 + \frac{- 4}{5}$

Paso 3.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2}{5}) = 3 - \frac{4}{5}$

Paso 3.2.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = 3 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Paso 3.2.4

Combina $3$ y $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{3 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Paso 3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{3 \cdot 5 - 4}{5}$

Paso 3.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{15 - 4}{5}$

Paso 3.2.6.2

Resta $4$ de $15$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{11}{5}$

Paso 3.2.7

La respuesta final es $\frac{11}{5}$ .

$\frac{11}{5}$

Paso 4

La tangente horizontal en la función $f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 3$ es $y = \frac{11}{5}$ .

$y = \frac{11}{5}$

Paso 5