Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} - 3 x + 2$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x^{4} - 3 x + 2$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 3 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{3} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$4 x^{3} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} - 3 + 0$

Paso 2.3.2

Suma $4 x^{3} - 3$ y $0$ .

$4 x^{3} - 3$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 3 = 0$ .

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Paso 3.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} = 3$

Paso 3.2

Divide cada término en $4 x^{3} = 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $4 x^{3} = 3$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{3}{4}$

Paso 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Paso 3.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.4.3.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Paso 3.4.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Paso 3.4.3.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Paso 3.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.4.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.4.3.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.3.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Paso 3.4.3.5.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Paso 3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Paso 3.4.4.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{16}}{4}$

Paso 3.4.4.3

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 3.4.4.3.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Paso 3.4.4.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Paso 3.4.4.4

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Paso 3.4.4.5

Combina exponentes.

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Paso 3.4.4.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{3 \cdot 2}}{4}$

Paso 3.4.4.5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{4}$

Paso 3.4.5

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.4.5.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt[3]{6}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{6})}{4}$

Paso 3.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{4} - 3 x + 2$ en $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Paso 4.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{6}}^{4}$ como $\sqrt[3]{6^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Paso 4.2.1.2.2

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Paso 4.2.1.2.3

Reescribe $1296$ como $6^{3} \cdot 6$ .

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Paso 4.2.1.2.3.1

Factoriza $216$ de $1296$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Paso 4.2.1.2.3.2

Reescribe $216$ como $6^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Paso 4.2.1.2.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Paso 4.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Paso 4.2.1.4

Cancela el factor común de $6$ y $16$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $6 \sqrt[3]{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Paso 4.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Paso 4.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Paso 4.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Paso 4.2.1.5

Combina $- 3$ y $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{- 3 \sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Paso 4.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Paso 4.2.2

Para escribir $- \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Paso 4.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 2$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 2$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 2$

Paso 4.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.1.1

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6} - 12 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Paso 4.2.5.1.2

Resta $12 \sqrt[3]{6}$ de $3 \sqrt[3]{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Paso 4.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Paso 4.2.6

La respuesta final es $- \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$ .

$- \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Paso 5

La tangente horizontal en la función $f (x) = x^{4} - 3 x + 2$ es $y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$ .

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Forma decimal:

$y = - 0.04426066 \dots$

Paso 7