Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + \ln (x)$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{1}{x}$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 x + \frac{1}{x} = 0$ .

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Paso 2.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x, 1$

Paso 2.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 2.2

Multiplica cada término en $2 x + \frac{1}{x} = 0$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.2.1

Multiplica cada término en $2 x + \frac{1}{x} = 0$ por $x$ .

$2 x \cdot x + \frac{1}{x} x = 0 x$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) + \frac{1}{x} x = 0 x$

Paso 2.2.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Paso 2.2.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Paso 2.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} + 1 = 0 x$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $0$ por $x$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} = - 1$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $2 x^{2} = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $2 x^{2} = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $- \frac{1}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Paso 2.3.4.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Paso 2.3.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Paso 2.3.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.4.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3.4.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3.4.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 2.3.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.4.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.4.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.4.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 2.3.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.3.4.7.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.3.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 2.3.4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.4.8

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3

No se puede encontrar una recta tangente en un punto imaginario. El punto en $x =$ no existe en el sistema de coordenadas real.

No se puede encontrar una tangente desde la raíz

Paso 4

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{2} + \ln (x)$ .

No horizontal tangent lines

Paso 5