Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 x^{5} + 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x + 0$

Paso 1.4.2

Suma $6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x$ y $0$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x$

Paso 2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx - 1.39902337, 0, 0.13320739$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ en $x = - 1.39902337$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.39902337$ en la expresión.

$f (- 1.39902337) = {(- 1.39902337)}^{6} + 5 {(- 1.39902337)}^{3} - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Eleva $- 1.39902337$ a la potencia de $6$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 + 5 {(- 1.39902337)}^{3} - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Paso 3.2.1.2

Eleva $- 1.39902337$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 + 5 \cdot - 2.73826144 - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $5$ por $- 2.73826144$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Paso 3.2.1.4

Eleva $- 1.39902337$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - 1 \cdot 1.9572664 + 9$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1.9572664$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - 1.9572664 + 9$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.2.2.1

Resta $13.69130723$ de $7.49807575$ .

$f (- 1.39902337) = - 6.19323148 - 1.9572664 + 9$

Paso 3.2.2.2

Resta $1.9572664$ de $- 6.19323148$ .

$f (- 1.39902337) = - 8.15049788 + 9$

Paso 3.2.2.3

Suma $- 8.15049788$ y $9$ .

$f (- 1.39902337) = 0.84950211$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $0.84950211$ .

$0.84950211$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ en $x = 0$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{6} + 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 9$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 9$

Paso 4.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0 - {(0)}^{2} + 9$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - {(0)}^{2} + 9$

Paso 4.2.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 0 + 9$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 9$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 9$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 9$

Paso 4.2.2.3

Suma $0$ y $9$ .

$f (0) = 9$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $9$ .

$9$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ en $x = 0.13320739$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.13320739$ en la expresión.

$f (0.13320739) = {(0.13320739)}^{6} + 5 {(0.13320739)}^{3} - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $0.13320739$ a la potencia de $6$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 5 {(0.13320739)}^{3} - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Paso 5.2.1.2

Eleva $0.13320739$ a la potencia de $3$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 5 \cdot 0.00236365 - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $5$ por $0.00236365$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Paso 5.2.1.4

Eleva $0.13320739$ a la potencia de $2$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - 1 \cdot 0.0177442 + 9$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $0.0177442$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - 0.0177442 + 9$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Suma $0.00000558$ y $0.01181829$ .

$f (0.13320739) = 0.01182388 - 0.0177442 + 9$

Paso 5.2.2.2

Resta $0.0177442$ de $0.01182388$ .

$f (0.13320739) = - 0.00592032 + 9$

Paso 5.2.2.3

Suma $- 0.00592032$ y $9$ .

$f (0.13320739) = 8.99407967$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $8.99407967$ .

$8.99407967$

Paso 6

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ son $y = 0.84950211, y = 9, y = 8.99407967$ .

$y = 0.84950211, y = 9, y = 8.99407967$

Paso 7