Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 5$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - 7 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$4 x - 7 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x - 7 + 0$

Paso 1.4.2

Suma $4 x - 7$ y $0$ .

$4 x - 7$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $4 x - 7 = 0$ .

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Paso 2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 7$

Paso 2.2

Divide cada término en $4 x = 7$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $4 x = 7$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{7}{4}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{7}{4}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{4}$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 5$ en $x = \frac{7}{4}$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{7}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{7}{4}) = 2 {(\frac{7}{4})}^{2} - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{4}$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{7^{2}}{4^{2}}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Paso 3.2.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{4^{2}}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Paso 3.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{16}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Paso 3.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{2 (8)}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Paso 3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{2 \cdot 8}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Paso 3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $- 7 (\frac{7}{4})$ .

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Paso 3.2.1.5.1

Combina $- 7$ y $\frac{7}{4}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} + \frac{- 7 \cdot 7}{4} + 5$

Paso 3.2.1.5.2

Multiplica $- 7$ por $7$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} + \frac{- 49}{4} + 5$

Paso 3.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49}{4} + 5$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $\frac{49}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - (\frac{49}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 5$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{49}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 5$

Paso 3.2.2.3

Escribe $5$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5}{1}$

Paso 3.2.2.4

Multiplica $\frac{5}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{5}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 8}{8}$

Paso 3.2.2.6

Reordena los factores de $4 \cdot 2$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{5 \cdot 8}{8}$

Paso 3.2.2.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{8} + \frac{5 \cdot 8}{8}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49 - 49 \cdot 2 + 5 \cdot 8}{8}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $- 49$ por $2$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49 - 98 + 5 \cdot 8}{8}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $5$ por $8$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49 - 98 + 40}{8}$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.5.1

Resta $98$ de $49$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{- 49 + 40}{8}$

Paso 3.2.5.2

Suma $- 49$ y $40$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{- 9}{8}$

Paso 3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{7}{4}) = - \frac{9}{8}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $- \frac{9}{8}$ .

$- \frac{9}{8}$

Paso 4

La tangente horizontal en la función $f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 5$ es $y = - \frac{9}{8}$ .

$y = - \frac{9}{8}$

Paso 5