Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 4 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$4 - 4 \cos (x)$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $4 - 4 \cos (x) = 0$ .

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Paso 2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \cos (x) = - 4$

Paso 2.2

Divide cada término en $- 4 \cos (x) = - 4$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $- 4 \cos (x) = - 4$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 4}{- 4}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 4$ .

$\cos (x) = 1$

Paso 2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Paso 2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 2.6

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.9

Consolida las respuestas.

$x = 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$ en $x = 2 π$ .

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Paso 3.1

$f (2 π) = 4 (2 π) - 4 \sin (2 π)$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \sin (2 π)$

Paso 3.2.1.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \sin (0)$

Paso 3.2.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \cdot 0$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f (2 π) = 8 π + 0$

Paso 3.2.2

Suma $8 π$ y $0$ .

$f (2 π) = 8 π$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $8 π$ .

$8 π$

Paso 4

La tangente horizontal en la función $f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$ es $y = x = 2 π n, y = 8 π$ .

$y = x = 2 π n, y = 8 π$

Paso 5