Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} - 4 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$12 x - 4 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 x - 4 + 0$

Paso 1.4.2

Suma $12 x - 4$ y $0$ .

$12 x - 4$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x - 4 = 0$ .

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Paso 2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$12 x = 4$

Paso 2.2

Divide cada término en $12 x = 4$ por $12$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $12 x = 4$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{4}{12}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x}{12} = \frac{4}{12}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{12}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$x = \frac{4 (1)}{12}$

Paso 2.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{3}$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ en $x = \frac{1}{3}$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = 6 {(\frac{1}{3})}^{2} - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Paso 3.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{3^{2}}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Paso 3.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{9}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Paso 3.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 (2) (\frac{1}{9}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Paso 3.2.1.4.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{1}{3 \cdot 3})) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Paso 3.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{1}{3 \cdot 3})) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Paso 3.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = 2 (\frac{1}{3}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Paso 3.2.1.5

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Paso 3.2.1.6

Combina $- 4$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{- 4}{3} + 5$

Paso 3.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} + 5$

Paso 3.2.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{3}) = 5 + \frac{2 - 4}{3}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.2.2.1

Resta $4$ de $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 + \frac{- 2}{3}$

Paso 3.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{3}) = 5 - \frac{2}{3}$

Paso 3.2.3

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 3.2.4

Combina $5$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 3 - 2}{3}$

Paso 3.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{15 - 2}{3}$

Paso 3.2.6.2

Resta $2$ de $15$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13}{3}$

Paso 3.2.7

La respuesta final es $\frac{13}{3}$ .

$\frac{13}{3}$

Paso 4

La tangente horizontal en la función $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ es $y = \frac{13}{3}$ .

$y = \frac{13}{3}$

Paso 5