Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $9$ .

$6 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 60 x$ con respecto a $x$ es $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 60$ por $1$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.5.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $6 x^{2} + 18 x - 60$ y $0$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x^{2} + 18 x - 60 = 0$ .

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2} + 18 x - 60$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 18 x - 60 = 0$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $6$ de $18 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (3 x) - 60 = 0$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $6$ de $- 60$ .

$6 x^{2} + 6 (3 x) + 6 \cdot - 10 = 0$

Paso 2.1.1.4

Factoriza $6$ de $6 x^{2} + 6 (3 x)$ .

$6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot - 10 = 0$

Paso 2.1.1.5

Factoriza $6$ de $6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot - 10$ .

$6 (x^{2} + 3 x - 10) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza.

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x^{2} + 3 x - 10$ con el método AC.

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Paso 2.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $3$ .

$- 2, 5$

Paso 2.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$6 ((x - 2) (x + 5)) = 0$

Paso 2.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 (x - 2) (x + 5) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 2.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.4

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 (x - 2) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 5$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ en $x = 2$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.1.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{3}$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Paso 3.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (2) = 2^{1 + 3} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Paso 3.2.1.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$f (2) = 2^{4} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Paso 3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (2) = 16 + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Paso 3.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 16 + 9 \cdot 4 - 60 \cdot 2 + 4$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $9$ por $4$ .

$f (2) = 16 + 36 - 60 \cdot 2 + 4$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $- 60$ por $2$ .

$f (2) = 16 + 36 - 120 + 4$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.2.2.1

Suma $16$ y $36$ .

$f (2) = 52 - 120 + 4$

Paso 3.2.2.2

Resta $120$ de $52$ .

$f (2) = - 68 + 4$

Paso 3.2.2.3

Suma $- 68$ y $4$ .

$f (2) = - 64$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $- 64$ .

$- 64$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ en $x = - 5$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = 2 {(- 5)}^{3} + 9 {(- 5)}^{2} - 60 \cdot - 5 + 4$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$f (- 5) = 2 \cdot - 125 + 9 {(- 5)}^{2} - 60 \cdot - 5 + 4$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 125$ .

$f (- 5) = - 250 + 9 {(- 5)}^{2} - 60 \cdot - 5 + 4$

Paso 4.2.1.3

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f (- 5) = - 250 + 9 \cdot 25 - 60 \cdot - 5 + 4$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $9$ por $25$ .

$f (- 5) = - 250 + 225 - 60 \cdot - 5 + 4$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $- 60$ por $- 5$ .

$f (- 5) = - 250 + 225 + 300 + 4$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.2.2.1

Suma $- 250$ y $225$ .

$f (- 5) = - 25 + 300 + 4$

Paso 4.2.2.2

Suma $- 25$ y $300$ .

$f (- 5) = 275 + 4$

Paso 4.2.2.3

Suma $275$ y $4$ .

$f (- 5) = 279$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $279$ .

$279$

Paso 5

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ son $y = - 64, y = 279$ .

$y = - 64, y = 279$

Paso 6