Cálculo Ejemplos

$\csc (x)$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Paso 1.2

Reordena los factores de $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \cot (x) \csc (x) = 0$ .

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Paso 2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Paso 2.2

Establece $\cot (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.1

Establece $\cot (x)$ igual a $0$ .

$\cot (x) = 0$

Paso 2.2.2

Resuelve $\cot (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.2.1

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (0)$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.2.1

El valor exacto de $arccot (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 2.2.2.3

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{2}$

Paso 2.2.2.4

Simplifica $π + \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.2.2.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 2.2.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 2.2.2.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 2.2.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Paso 2.2.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.4.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Paso 2.2.2.4.3.2

Suma $2 π$ y $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.2.2.5

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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Paso 2.2.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 2.2.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 2.2.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 2.2.2.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.2.2.6

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.3

Establece $\csc (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $\csc (x)$ igual a $0$ .

$\csc (x) = 0$

Paso 2.3.2

El rango de la cosecante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no se encuentra en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $- \cot (x) \csc (x) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.5

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = \csc (x)$ en $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = \csc (\frac{π}{2})$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Paso 3.2.2

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = \csc (x)$ en $x = \frac{π}{2} + π$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2} + π$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π)$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Paso 4.2.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Paso 4.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Paso 4.2.3.2

Suma $π$ y $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{3 π}{2})$

Paso 4.2.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la cosecante es negativa en el cuarto cuadrante.

$f (\frac{π}{2} + π) = - \csc (\frac{π}{2})$

Paso 4.2.5

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

Paso 4.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Paso 4.2.7

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 5

La tangente horizontal en la función $f (x) = \csc (x)$ es $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Paso 6