Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Paso 1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Paso 1.1.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Paso 1.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1}$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}}$

Paso 1.6.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}}$

Paso 1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}}$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 1.8.2

Combina los términos.

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Paso 1.8.2.1

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ por $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} \cdot 3}$

Paso 1.8.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 2.2

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

No se obtiene ninguna solución al hacer que la derivada sea igual a $0$ , $- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ , por lo que no hay tangentes horizontales.

No se obtuvieron rectas tangentes horizontales

Paso 4