Cálculo Ejemplos

$x^{4} - 18 x^{2} + 81$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 18 x^{2} + 81$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $- 18$ .

$4 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} [81]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.1

Como $81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $81$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} - 36 x + 0$

Paso 1.3.2

Suma $4 x^{3} - 36 x$ y $0$ .

$4 x^{3} - 36 x$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 36 x = 0$ .

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 36 x$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 36 x = 0$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) = 0$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ .

$4 x (x^{2} - 9) = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza.

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Paso 2.1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Paso 2.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.4

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 3, 3$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ en $x = 0$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{4} - 18 {(0)}^{2} + 81$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 18 {(0)}^{2} + 81$

Paso 3.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 18 \cdot 0 + 81$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 18$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 81$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 81$

Paso 3.2.2.2

Suma $0$ y $81$ .

$f (0) = 81$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $81$ .

$81$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ en $x = - 3$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = {(- 3)}^{4} - 18 {(- 3)}^{2} + 81$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f (- 3) = 81 - 18 {(- 3)}^{2} + 81$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = 81 - 18 \cdot 9 + 81$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 18$ por $9$ .

$f (- 3) = 81 - 162 + 81$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.1

Resta $162$ de $81$ .

$f (- 3) = - 81 + 81$

Paso 4.2.2.2

Suma $- 81$ y $81$ .

$f (- 3) = 0$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 5

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ son $y = 81, y = 0, y = 0$ .

$y = 81, y = 0, y = 0$

Paso 6