Cálculo Ejemplos

$y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$

Paso 1

Set each solution of $y^{6} + x^{3}$ as a function of $x$ .

$y = y^{2} + 12 x \to f (x) = y^{2} + 12 x$

Paso 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 2.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{6} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

Paso 2.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{6} + x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$6 y^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 y^{5} y' + 3 x^{2}$

Paso 2.2.3.2

Reordena los términos.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y'$

Paso 2.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + 12 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Paso 2.3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 2.3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Paso 2.3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Paso 2.3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Paso 2.3.3.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 y y' + 12 \cdot 1$

Paso 2.3.3.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$2 y y' + 12$

Paso 2.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' = 2 y y' + 12$

Paso 2.5

Resuelve $y'$

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Paso 2.5.1

Resta $2 y y'$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' - 2 y y' = 12$

Paso 2.5.2

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$6 y^{5} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Paso 2.5.3

Factoriza $2 y y'$ de $6 y^{5} y' - 2 y y'$ .

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Paso 2.5.3.1

Factoriza $2 y y'$ de $6 y^{5} y'$ .

$2 y y' (3 y^{4}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Paso 2.5.3.2

Factoriza $2 y y'$ de $- 2 y y'$ .

$2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

Paso 2.5.3.3

Factoriza $2 y y'$ de $2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

Paso 2.5.4

Divide cada término en $2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ por $2 y (3 y^{4} - 1)$ y simplifica.

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Paso 2.5.4.1

Divide cada término en $2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ por $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Paso 2.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Paso 2.5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Paso 2.5.4.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Paso 2.5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Paso 2.5.4.2.3

Cancela el factor común de $3 y^{4} - 1$ .

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Paso 2.5.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Paso 2.5.4.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Paso 2.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 2.5.4.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Paso 2.5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.4.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Paso 2.5.4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Paso 2.5.4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Paso 2.5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Paso 2.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = 0$ .

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Paso 3.1

Resta $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

Paso 3.2

Divide cada término en $- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{- 1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Paso 3.2.2.2

Divide $\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{1}$

Paso 3.2.3.2

Divide $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

Paso 3.3

Multiplica ambos lados por $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1.1

Simplifica $\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ .

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Paso 3.4.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Paso 3.4.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Paso 3.4.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Paso 3.4.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Paso 3.4.1.1.3

Cancela el factor común de $y (3 y^{4} - 1)$ .

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Paso 3.4.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Paso 3.4.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$3 x^{2} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x^{2} = 2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ .

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Paso 3.4.2.1.2.1

Combina $2$ y $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ .

$3 x^{2} = \frac{2 \cdot 6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Paso 3.4.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Paso 3.4.2.1.3

Cancela el factor común de $y (3 y^{4} - 1)$ .

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Paso 3.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Paso 3.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$3 x^{2} = 12$

Paso 3.5

Resuelve $x$

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 12$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.5.1.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 12$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Paso 3.5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Paso 3.5.1.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Paso 3.5.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.1.3.1

Divide $12$ por $3$ .

$x^{2} = 4$

Paso 3.5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 3.5.3

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 3.5.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 3.5.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 3.5.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 3.5.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 3.5.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 4

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = 2$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = y^{2} + 12 (2)$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Multiplica $12$ por $2$ .

$f (2) = y^{2} + 24$

Paso 4.2.2

La respuesta final es $y^{2} + 24$ .

$y^{2} + 24$

Paso 5

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = - 2$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = y^{2} + 12 (- 2)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $12$ por $- 2$ .

$f (- 2) = y^{2} - 24$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $y^{2} - 24$ .

$y^{2} - 24$

Paso 6

The horizontal tangent lines are $y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

$y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

Paso 7