Cálculo Ejemplos

y^{2} - x y - 12 = 0

$y^{2} - x y - 12 = 0$

Paso 1

Solve the equation as

$y$ in terms of

$x$ .

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Paso 1.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2

Sustituye los valores

$a = 1$ ,

$b = - x$ y

$c = - 12$ en la fórmula cuadrática y resuelve

$y$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.1.1

Aplica la regla del producto a

$- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.2

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.3

Multiplica

$x^{2}$ por

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.4

Multiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Paso 1.3.1.4.1

Multiplica

$- 4$ por

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.4.2

Multiplica

$- 4$ por

$- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Paso 1.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte

$+$ de

$\pm$ .

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Paso 1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.1

Aplica la regla del producto a

$- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.2

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.3

Multiplica

$x^{2}$ por

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.4

Multiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Paso 1.4.1.4.1

Multiplica

$- 4$ por

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.4.2

Multiplica

$- 4$ por

$- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.2

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Paso 1.4.3

Cambia

$\pm$ a

$+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Paso 1.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte

$-$ de

$\pm$ .

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Aplica la regla del producto a

$- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.2

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.3

Multiplica

$x^{2}$ por

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.4

Multiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Paso 1.5.1.4.1

Multiplica

$- 4$ por

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.4.2

Multiplica

$- 4$ por

$- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.2

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Paso 1.5.3

Cambia

$\pm$ a

$-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Paso 1.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Paso 2

Set each solution of

$y$ as a function of

$x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Paso 3

Because the

$y$ variable in the equation

$y^{2} - x y - 12 = 0$ has a degree greater than

$1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative

$\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de

$y^{2} - x y - 12$ con respecto a

$x$ es

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.2

Evalúa

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 3.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

$f (x) = x^{2}$ y

$g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

$u$ como

$y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es

$n u^{n - 1}$ donde

$n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de

$u$ con

$y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.2.2

Reescribe

$\frac{d}{d x} [y]$ como

$y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.3

Evalúa

$\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 3.2.3.1

Como

$- 1$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$- x y$ con respecto a

$x$ es

$- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde

$f (x) = x$ y

$g (x) = y$ .

$2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.3.3

Reescribe

$\frac{d}{d x} [y]$ como

$y'$ .

$2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.3.5

Multiplica

$y$ por

$1$ .

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.4

Como

$- 12$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$- 12$ con respecto a

$x$ es

$0$ .

$2 y y' - (x y' + y) + 0$

Paso 3.2.5

Simplifica.

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Paso 3.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y y' - (x y') - y + 0$

Paso 3.2.5.2

Suma

$2 y y' - x y' - y$ y

$0$ .

$2 y y' - x y' - y$

Paso 3.3

Como

$0$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$0$ con respecto a

$x$ es

$0$ .

$0$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' - x y' - y = 0$

Paso 3.5

Resuelve

$y'$

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Paso 3.5.1

Suma

$y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y y' - x y' = y$

Paso 3.5.2

Factoriza

$y'$ de

$2 y y' - x y'$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza

$y'$ de

$2 y y'$ .

$y' (2 y) - x y' = y$

Paso 3.5.2.2

Factoriza

$y'$ de

$- x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

Paso 3.5.2.3

Factoriza

$y'$ de

$y' (2 y) + y' (- x)$ .

$y' (2 y - x) = y$

Paso 3.5.3

Divide cada término en

$y' (2 y - x) = y$ por

$2 y - x$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en

$y' (2 y - x) = y$ por

$2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de

$2 y - x$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide

$y'$ por

$1$ .

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

Paso 3.6

Reemplaza

$y'$ con

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

Paso 4

The roots of the derivative

$\frac{y}{2 y - x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

Paso 5