Cálculo Ejemplos

$y^{2} - x y - 12 = 0$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Paso 1.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - x$ y $c = - 12$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Paso 1.3.1.4.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Paso 1.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.4

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Paso 1.4.1.4.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Paso 1.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Paso 1.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.4

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Paso 1.5.1.4.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Paso 1.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Paso 1.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} - x y - 12 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - x y - 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 3.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 3.2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Paso 3.2.4

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 y y' - (x y' + y) + 0$

Paso 3.2.5

Simplifica.

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Paso 3.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y y' - (x y') - y + 0$

Paso 3.2.5.2

Suma $2 y y' - x y' - y$ y $0$ .

$2 y y' - x y' - y$

Paso 3.3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' - x y' - y = 0$

Paso 3.5

Resuelve $y'$

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Paso 3.5.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y y' - x y' = y$

Paso 3.5.2

Factoriza $y'$ de $2 y y' - x y'$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x y' = y$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (2 y) + y' (- x)$ .

$y' (2 y - x) = y$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $y' (2 y - x) = y$ por $2 y - x$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $y' (2 y - x) = y$ por $2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $2 y - x$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

Paso 4

The roots of the derivative $\frac{y}{2 y - x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

Paso 5