Cálculo Ejemplos

$x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$

Paso 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ as a function of $x$ .

$y = 0 \to f (x) = 0$

Paso 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 2.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} - 9 x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Paso 2.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Paso 2.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x y$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y)$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y') - 9 y$

Paso 2.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y$

Paso 2.3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 2.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = 0$

Paso 2.5

Resuelve $y'$

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Paso 2.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.5.1.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = - 3 x^{2}$

Paso 2.5.1.2

Suma $9 y$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Paso 2.5.2

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y' - 9 x y'$ .

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Paso 2.5.2.2

Factoriza $3 y'$ de $- 9 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Paso 2.5.2.3

Factoriza $3 y'$ de $3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Paso 2.5.3

Divide cada término en $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ por $3 (y^{2} - 3 x)$ y simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Divide cada término en $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ por $3 (y^{2} - 3 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 2.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 2.5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 2.5.3.2.2

Cancela el factor común de $y^{2} - 3 x$ .

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Paso 2.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 2.5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 2.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 2.5.3.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 2.5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 2.5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 2.5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 2.5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $9$ y $3$ .

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Paso 2.5.3.3.1.3.1

Factoriza $3$ de $9 y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 2.5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.3.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Paso 2.5.3.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 y}{y^{2} - 3 x}$

Paso 2.5.3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- x^{2} + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Paso 2.5.3.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Paso 2.5.3.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $3 y$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) - (- 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Paso 2.5.3.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 3 y)$ .

$y' = \frac{- (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Paso 2.5.3.3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.3.3.2.5.1

Reescribe $- (x^{2} - 3 y)$ como $- 1 (x^{2} - 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Paso 2.5.3.3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Paso 2.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} - 3 y = 0$

Paso 3.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 3 y$

Paso 3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{3 y}$

Paso 3.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{3 y}$

Paso 3.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{3 y}$

Paso 3.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

Paso 4

Solve the function $f (x) = 0$ at $x = \sqrt{3 y}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{3 y}$ en la expresión.

$f (\sqrt{3 y}) = 0$

Paso 4.2

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 5

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0$

$y = 0, y = 0$

Paso 6