Cálculo Ejemplos

$x^{2} - x y + 2 y^{2} = 1$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Paso 1.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - x y + 2 y^{2} - 1 = 0$

Paso 1.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.3

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - x$ y $c = x^{2} - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x^{2} - 1))}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.4

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.6

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.7

Resta $8 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Paso 1.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.1.4

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.1.6

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.1.7

Resta $8 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Paso 1.5.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Paso 1.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.6.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.6.1.4

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.6.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.6.1.6

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.6.1.7

Resta $8 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Paso 1.6.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Paso 1.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} - x y + 2 y^{2} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x y + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Diferencia.

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Paso 3.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x y + 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 3.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 3.2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 3.2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 3.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 x - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 3.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Paso 3.2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 (2 y y')$

Paso 3.2.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x - (x y' + y) + 4 y y'$

Paso 3.2.4

Simplifica.

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Paso 3.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - (x y') - y + 4 y y'$

Paso 3.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 x - x y' - y + 4 y y'$

Paso 3.2.4.3

Reordena los términos.

$- x y' + 4 y y' + 2 x - y$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- x y' + 4 y y' + 2 x - y = 0$

Paso 3.5

Resuelve $y'$

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Paso 3.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y' + 4 y y' - y = - 2 x$

Paso 3.5.1.2

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$- x y' + 4 y y' = - 2 x + y$

Paso 3.5.2

Factoriza $y'$ de $- x y' + 4 y y'$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' (- x) + 4 y y' = - 2 x + y$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $y'$ de $4 y y'$ .

$y' (- x) + y' (4 y) = - 2 x + y$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (- x) + y' (4 y)$ .

$y' (- x + 4 y) = - 2 x + y$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $y' (- x + 4 y) = - 2 x + y$ por $- x + 4 y$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $y' (- x + 4 y) = - 2 x + y$ por $- x + 4 y$ .

$\frac{y' (- x + 4 y)}{- x + 4 y} = \frac{- 2 x}{- x + 4 y} + \frac{y}{- x + 4 y}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- x + 4 y$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x + 4 y)}{- x + 4 y} = \frac{- 2 x}{- x + 4 y} + \frac{y}{- x + 4 y}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x + 4 y} + \frac{y}{- x + 4 y}$

Paso 3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x + 4 y}$

Paso 3.5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x + 4 y}$

Paso 3.5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x + 4 y}$

Paso 3.5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x + 4 y}$

Paso 3.5.3.3.5

Reescribe $- (2 x - y)$ como $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x + 4 y}$

Paso 3.5.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) + 4 y}$

Paso 3.5.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $4 y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - (- 4 y)}$

Paso 3.5.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (- 4 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x - 4 y)}$

Paso 3.5.3.3.9

Reescribe $- (x - 4 y)$ como $- 1 (x - 4 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x - 4 y)}$

Paso 3.5.3.3.10

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x - 4 y)}$

Paso 3.5.3.3.11

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 x - y}{x - 4 y}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x - 4 y}$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2 x - y}{x - 4 y} = 0$ .

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Paso 4.1

Establece el numerador igual a cero.

$2 x - y = 0$

Paso 4.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = y$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $2 x = y$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = y$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y}{2}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y}{2}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{y}{2}$

Paso 5

Solve the function $f (x) = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$ at $x = \frac{y}{2}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{y}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{(\frac{y}{2}) + \sqrt{- 7 {(\frac{y}{2})}^{2} + 8}}{4}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{2^{2}} + 8}}{4}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Paso 5.2.1.3

Combina $- 7$ y $\frac{y^{2}}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{- 7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Paso 5.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Paso 5.2.1.5

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8 \cdot \frac{4}{4}}}{4}$

Paso 5.2.1.6

Combina $8$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}}}{4}$

Paso 5.2.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 8 \cdot 4}{4}}}{4}$

Paso 5.2.1.8

Multiplica $8$ por $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}}}{4}$

Paso 5.2.1.9

Reescribe $\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)$ .

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Paso 5.2.1.9.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $- 7 y^{2} + 32$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{4}}}{4}$

Paso 5.2.1.9.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}}}{4}$

Paso 5.2.1.9.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)}}{4}$

Paso 5.2.1.10

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{4}$

Paso 5.2.1.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{- 7 y^{2} + 32}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \frac{\sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

Paso 5.2.1.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

Paso 5.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3

Multiplica $\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$ .

$\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Paso 6

Solve the function $f (x) = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$ at $x = \frac{y}{2}$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{y}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{(\frac{y}{2}) - \sqrt{- 7 {(\frac{y}{2})}^{2} + 8}}{4}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{2^{2}} + 8}}{4}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Paso 6.2.1.3

Combina $- 7$ y $\frac{y^{2}}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{- 7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Paso 6.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Paso 6.2.1.5

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8 \cdot \frac{4}{4}}}{4}$

Paso 6.2.1.6

Combina $8$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}}}{4}$

Paso 6.2.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 8 \cdot 4}{4}}}{4}$

Paso 6.2.1.8

Multiplica $8$ por $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}}}{4}$

Paso 6.2.1.9

Reescribe $\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)$ .

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Paso 6.2.1.9.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $- 7 y^{2} + 32$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{4}}}{4}$

Paso 6.2.1.9.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}}}{4}$

Paso 6.2.1.9.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)}}{4}$

Paso 6.2.1.10

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 7 y^{2} + 32})}{4}$

Paso 6.2.1.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{- 7 y^{2} + 32}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \frac{\sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

Paso 6.2.1.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

Paso 6.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 6.2.3

Multiplica $\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Multiplica $\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$ .

$\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Paso 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}, y = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

$y = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}, y = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Paso 8