Cálculo Ejemplos

$x^{3} - 5 x^{2}$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - 5 (2 x)$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$3 x^{2} - 10 x$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 10 x = 0$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2} - 10 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$x (3 x) - 10 x = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $- 10 x$ .

$x (3 x) + x \cdot - 10 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $x$ de $x (3 x) + x \cdot - 10$ .

$x (3 x - 10) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x - 10 = 0$

Paso 2.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.4

Establece $3 x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $3 x - 10$ igual a $0$ .

$3 x - 10 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $3 x - 10 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 10$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $3 x = 10$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 10$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (3 x - 10) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{10}{3}$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} - 5 x^{2}$ en $x = 0$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 3.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} - 5 x^{2}$ en $x = \frac{10}{3}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{10}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{10}{3}) = {(\frac{10}{3})}^{3} - 5 {(\frac{10}{3})}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{10}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10^{3}}{3^{3}} - 5 {(\frac{10}{3})}^{2}$

Paso 4.2.1.2

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{1000}{3^{3}} - 5 {(\frac{10}{3})}^{2}$

Paso 4.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{1000}{27} - 5 {(\frac{10}{3})}^{2}$

Paso 4.2.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{10}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{1000}{27} - 5 \frac{10^{2}}{3^{2}}$

Paso 4.2.1.5

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{1000}{27} - 5 \frac{100}{3^{2}}$

Paso 4.2.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{1000}{27} - 5 (\frac{100}{9})$

Paso 4.2.1.7

Multiplica $- 5 (\frac{100}{9})$ .

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Paso 4.2.1.7.1

Combina $- 5$ y $\frac{100}{9}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{1000}{27} + \frac{- 5 \cdot 100}{9}$

Paso 4.2.1.7.2

Multiplica $- 5$ por $100$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{1000}{27} + \frac{- 500}{9}$

Paso 4.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{1000}{27} - \frac{500}{9}$

Paso 4.2.2

Para escribir $- \frac{500}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{1000}{27} - \frac{500}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $27$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $\frac{500}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{1000}{27} - \frac{500 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{1000}{27} - \frac{500 \cdot 3}{27}$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{1000 - 500 \cdot 3}{27}$

Paso 4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $- 500$ por $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{1000 - 1500}{27}$

Paso 4.2.5.2

Resta $1500$ de $1000$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{- 500}{27}$

Paso 4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{10}{3}) = - \frac{500}{27}$

Paso 4.2.7

La respuesta final es $- \frac{500}{27}$ .

$- \frac{500}{27}$

Paso 5

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x^{3} - 5 x^{2}$ son $y = 0, y = - \frac{500}{27}$ .

$y = 0, y = - \frac{500}{27}$

Paso 6