Cálculo Ejemplos

$x^{3} + y^{3} = 7$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Paso 1.1

Resta $x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{3} = 7 - x^{3}$

Paso 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}} \to f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 7$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Diferencia.

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Paso 3.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 3.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Paso 3.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

Paso 3.5

Resuelve $y'$

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Paso 3.5.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ por $3 y^{2}$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ por $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Paso 3.5.2.2.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Paso 3.5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 3.5.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2})}$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

Paso 3.5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

Paso 3.5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{x^{2}}{y^{2}} = 0$ .

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Paso 4.1

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Solve the function $f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$ at $x = 0$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \sqrt[3]{7 - {(0)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7 - 0}$

Paso 5.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7 + 0}$

Paso 5.2.3

Suma $7$ y $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $\sqrt[3]{7}$ .

$\sqrt[3]{7}$

Paso 6

The horizontal tangent lines are $y = \sqrt[3]{7}$

$y = \sqrt[3]{7}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = \sqrt[3]{7}$

Forma decimal:

$y = 1.91293118 \dots$

Paso 8