Cálculo Ejemplos

$x^{3} + y^{3} = 2 x y$

Paso 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 2 x y \to f (x) = 2 x y$

Paso 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 2 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 2.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

Paso 2.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Paso 2.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 (x y' + y)$

Paso 2.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x y' + 2 y$

Paso 2.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 2 x y' + 2 y$

Paso 2.5

Resuelve $y'$

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Paso 2.5.1

Resta $2 x y'$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y$

Paso 2.5.2

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

Paso 2.5.3

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y' - 2 x y'$ .

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Paso 2.5.3.1

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

Paso 2.5.3.2

Factoriza $y'$ de $- 2 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

Paso 2.5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

Paso 2.5.4

Divide cada término en $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ por $3 y^{2} - 2 x$ y simplifica.

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Paso 2.5.4.1

Divide cada término en $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ por $3 y^{2} - 2 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Paso 2.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.4.2.1

Cancela el factor común de $3 y^{2} - 2 x$ .

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Paso 2.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Paso 2.5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Paso 2.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Paso 2.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece el numerador igual a cero.

$2 y - 3 x^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x^{2} = - 2 y$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $- 3 x^{2} = - 2 y$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $- 3 x^{2} = - 2 y$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{2} = \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$

Paso 3.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$ .

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Paso 3.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{2 y}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.2.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.2.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 3.2.4.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 3.2.4.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 3.2.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 3.2.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 3.2.4.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.2.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.2.4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.4.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.2.4.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.2.4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 3.2.4.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3}$

Paso 3.2.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.4.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y \cdot 3}}{3}$

Paso 3.2.4.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Paso 3.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Paso 3.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Paso 3.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Paso 4

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Combina $2$ y $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Paso 4.2.2

Combina $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ y $y$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

Paso 5

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3})$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - 2 \frac{\sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Paso 5.2.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Paso 5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{(2) \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Paso 5.2.3

Combina $y$ y $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{y (2 \sqrt{6 y})}{3}$

Paso 5.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Paso 5.2.5

La respuesta final es $- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$ .

$- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Paso 6

The horizontal tangent lines are $y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Paso 7