Cálculo Ejemplos

$x^{2} + x y + y^{2} = 9$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Paso 1.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x y + y^{2} - 9 = 0$

Paso 1.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = x$ y $c = x^{2} - 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 9))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.4

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.5

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2} + 36$ .

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Paso 1.4.1.5.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.5.2

Factoriza $3$ de $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.5.3

Factoriza $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Paso 1.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.4

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.5

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2} + 36$ .

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Paso 1.5.1.5.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.5.2

Factoriza $3$ de $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.5.3

Factoriza $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Paso 1.5.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{- x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Paso 1.5.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{- (x) + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Paso 1.5.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{3 (- x^{2} + 12)}$ .

$y = \frac{- (x) - 1 (- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Paso 1.5.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Paso 1.5.7

Reescribe $- (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ como $- 1 (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Paso 1.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Paso 1.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.4

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.5

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2} + 36$ .

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Paso 1.6.1.5.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.5.2

Factoriza $3$ de $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.5.3

Factoriza $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Paso 1.6.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{- x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Paso 1.6.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{- (x) - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Paso 1.6.5

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}$ .

$y = \frac{- (x) - (\sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Paso 1.6.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (\sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Paso 1.6.7

Reescribe $- (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ como $- 1 (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- 1 (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Paso 1.6.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Paso 1.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2} \to f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2} \to f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + x y + y^{2} = 9$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (9)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Diferencia.

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Paso 3.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x y + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 3.2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 3.2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Paso 3.2.4

Reordena los términos.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Paso 3.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Paso 3.5

Resuelve $y'$

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Paso 3.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Paso 3.5.1.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Paso 3.5.2

Factoriza $y'$ de $x y' + 2 y y'$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ por $x + 2 y$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ por $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $x + 2 y$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Paso 3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Paso 3.5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Paso 3.5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Paso 3.5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Paso 3.5.3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.3.3.5.1

Reescribe $- (2 x + y)$ como $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Paso 3.5.3.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{2 x + y}{x + 2 y} = 0$ .

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Paso 4.1

Establece el numerador igual a cero.

$2 x + y = 0$

Paso 4.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - y$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $2 x = - y$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - y$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y}{2}$

Paso 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{y}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{(- \frac{y}{2}) - \sqrt{3 (- {(- \frac{y}{2})}^{2} + 12)}}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 12)}}{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Paso 5.2.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Paso 5.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Paso 5.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Paso 5.2.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{2^{2}} + 12)}}{2}$

Paso 5.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12)}}{2}$

Paso 5.2.1.5

Para escribir $12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12 \cdot \frac{4}{4})}}{2}$

Paso 5.2.1.6

Combina $12$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Paso 5.2.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Paso 5.2.1.8

Multiplica $12$ por $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 48}{4})}}{2}$

Paso 5.2.1.9

Combina $3$ y $\frac{- y^{2} + 48}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}}}{2}$

Paso 5.2.1.10

Reescribe $\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))$ .

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Paso 5.2.1.10.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $3 (- y^{2} + 48)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{4}}}{2}$

Paso 5.2.1.10.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Paso 5.2.1.10.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))}}{2}$

Paso 5.2.1.11

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{2}$

Paso 5.2.1.12

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Paso 5.2.1.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Paso 5.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.2.3

Multiplica $\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Paso 5.2.4

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Paso 5.2.5

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - (\sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Paso 5.2.6

Factoriza $- 1$ de $- (y) - (\sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Paso 5.2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.7.1

Reescribe $- (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ como $- 1 (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Paso 5.2.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Paso 5.2.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4})$

Paso 5.2.7.4

Multiplica $\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Paso 5.2.8

La respuesta final es $\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ .

$\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Paso 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{y}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{(- \frac{y}{2}) + \sqrt{3 (- {(- \frac{y}{2})}^{2} + 12)}}{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 12)}}{2}$

Paso 6.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Paso 6.2.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Paso 6.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Paso 6.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Paso 6.2.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{2^{2}} + 12)}}{2}$

Paso 6.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12)}}{2}$

Paso 6.2.1.5

Para escribir $12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12 \cdot \frac{4}{4})}}{2}$

Paso 6.2.1.6

Combina $12$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Paso 6.2.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Paso 6.2.1.8

Multiplica $12$ por $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 48}{4})}}{2}$

Paso 6.2.1.9

Combina $3$ y $\frac{- y^{2} + 48}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}}}{2}$

Paso 6.2.1.10

Reescribe $\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))$ .

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Paso 6.2.1.10.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $3 (- y^{2} + 48)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{4}}}{2}$

Paso 6.2.1.10.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Paso 6.2.1.10.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))}}{2}$

Paso 6.2.1.11

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$

Paso 6.2.1.12

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Paso 6.2.1.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Paso 6.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 6.2.3

Multiplica $\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Paso 6.2.4

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Paso 6.2.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - 1 (- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Paso 6.2.6

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Paso 6.2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.7.1

Reescribe $- (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ como $- 1 (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Paso 6.2.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Paso 6.2.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4})$

Paso 6.2.7.4

Multiplica $\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Paso 6.2.8

La respuesta final es $\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ .

$\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Paso 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

$y = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Paso 8