Cálculo Ejemplos

$x^{2} + 9 y^{2} = 1$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Paso 1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$9 y^{2} = 1 - x^{2}$

Paso 1.2

Divide cada término en $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ por $9$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ por $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = \frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}$

Paso 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

Paso 1.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$ .

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Paso 1.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

Paso 1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} - \frac{x^{2}}{9}}$

Paso 1.4.3

Reescribe $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - \frac{x^{2}}{9}}$

Paso 1.4.4

Reescribe $\frac{x^{2}}{9}$ como ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Paso 1.4.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{1}{3}$ y $b = \frac{x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{1}{3} + \frac{x}{3}) (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

Paso 1.4.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.6.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

Paso 1.4.6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} \cdot \frac{1 - x}{3}}$

Paso 1.4.6.3

Multiplica $\frac{1 + x}{3}$ por $\frac{1 - x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{3 \cdot 3}}$

Paso 1.4.6.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}}$

Paso 1.4.7

Reescribe $\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))$ .

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Paso 1.4.7.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(1 + x) (1 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{9}}$

Paso 1.4.7.2

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Paso 1.4.7.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))}$

Paso 1.4.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 1.4.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Paso 1.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Paso 1.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Paso 1.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + 9 y^{2} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Diferencia.

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Paso 3.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 9 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Paso 3.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

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Paso 3.2.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 y^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 9 (2 y y')$

Paso 3.2.2.4

Multiplica $2$ por $9$ .

$2 x + 18 y y'$

Paso 3.2.3

Reordena los términos.

$18 y y' + 2 x$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$18 y y' + 2 x = 0$

Paso 3.5

Resuelve $y'$

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Paso 3.5.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$18 y y' = - 2 x$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $18 y y' = - 2 x$ por $18 y$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $18 y y' = - 2 x$ por $18 y$ .

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $18$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Paso 3.5.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Paso 3.5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{18 y}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $18$ .

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Paso 3.5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{18 y}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $18 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

Paso 3.5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x}{9 y}$

Paso 3.5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x}{9 y}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{9 y}$

Paso 4

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

Paso 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Paso 5.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.1

Suma $1$ y $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $1 - (0)$ por $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

Paso 5.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

Paso 5.2.2.4

Suma $1$ y $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1}}{3}$

Paso 5.2.2.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (0) = \frac{1}{3}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Paso 6.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1

Suma $1$ y $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $1 - (0)$ por $1$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

Paso 6.2.2.4

Suma $1$ y $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1}}{3}$

Paso 6.2.2.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (0) = - \frac{1}{3}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Paso 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

Paso 8