Cálculo Ejemplos

$\frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 + \sin (x)$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.6

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9

Simplifica.

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Paso 1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.9.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.2.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 2 \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.2.1.3

Multiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 1.9.2.1.3.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.2.1.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.2.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.2.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.2.2

Factoriza $- 1$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.2.3

Factoriza $- 1$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.2.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- 2 \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 1}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.3

Reordena los términos.

$\frac{- 1 - 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 - 2 \sin (x)$ .

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Paso 1.9.4.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.4.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - (2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (2 \sin (x))$ .

$\frac{- 1 (1 + 2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.4.4

Reescribe $- 1 (1 + 2 \sin (x))$ como $- (1 + 2 \sin (x))$ .

$\frac{- (1 + 2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.9.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1 + 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{1 + 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece el numerador igual a cero.

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (x) = - 1$

Paso 2.2.2

Divide cada término en $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Divide cada término en $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 2.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Paso 2.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Paso 2.2.5

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 2.2.6.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Paso 2.2.6.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 2.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 2.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.2.8

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 2.2.8.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Paso 2.2.8.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 2.2.8.3

Combina fracciones.

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Paso 2.2.8.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 2.2.8.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 2.2.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.8.4.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Paso 2.2.8.4.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Paso 2.2.8.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Paso 2.2.9

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ en $x = \frac{7 π}{6}$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{7 π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{7 π}{6})}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \cos (\frac{π}{6})}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

Paso 3.2.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

Paso 3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \sin (\frac{π}{6})}$

Paso 3.2.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

Paso 3.2.2.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 3.2.2.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 3.2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}$

Paso 3.2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.2.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4 - 1}{2}}$

Paso 3.2.2.6.2

Resta $1$ de $4$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$

Paso 3.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 3.2.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 3.2.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \sqrt{3} \frac{1}{3}$

Paso 3.2.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ en $x = \frac{11 π}{6}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{11 π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{11 π}{6})}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{π}{6})}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

Paso 4.2.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

Paso 4.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.2.1

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \sin (\frac{π}{6})}$

Paso 4.2.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 4.2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}$

Paso 4.2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4 - 1}{2}}$

Paso 4.2.2.6.2

Resta $1$ de $4$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{11 π}{6}) = \sqrt{3} (\frac{1}{3})$

Paso 4.2.5

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 4.2.6

La respuesta final es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 5

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ son $y = - \frac{\sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 6