Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} - 3 + 0$

Paso 1.4.2

Suma $x^{2} - 3$ y $0$ .

$x^{2} - 3$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $x^{2} - 3 = 0$ .

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Paso 2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 3$

Paso 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Paso 2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{3}$

Paso 2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{3}$

Paso 2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ en $x = \sqrt{3}$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{3}$ en la expresión.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt{3})}^{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3} + 2$

Paso 3.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{27} - 3 \sqrt{3} + 2$

Paso 3.2.1.3

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 (3)} - 3 \sqrt{3} + 2$

Paso 3.2.1.3.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Paso 3.2.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

Paso 3.2.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\sqrt{3})) - 3 \sqrt{3} + 2$

Paso 3.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

Paso 3.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Paso 3.2.2

Resta $3 \sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = - 2 \sqrt{3} + 2$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $- 2 \sqrt{3} + 2$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ en $x = - \sqrt{3}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{3}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \sqrt{3})}^{3} - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Paso 4.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{3}}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Paso 4.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{27}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Paso 4.2.1.5

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.2.1.5.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{9 (3)}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Paso 4.2.1.5.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Paso 4.2.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- (3 \sqrt{3})) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Paso 4.2.1.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.7.1

Factoriza $3$ de $- (3 \sqrt{3})$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Paso 4.2.1.7.2

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Paso 4.2.1.7.3

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{3}) = - (\sqrt{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Paso 4.2.1.8

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2$

Paso 4.2.2

Suma $- \sqrt{3}$ y $3 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3} + 2$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $2 \sqrt{3} + 2$ .

$2 \sqrt{3} + 2$

Paso 5

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ son $y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$ .

$y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$

Paso 6