Cálculo Ejemplos

${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Paso 1.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y - 2 = \pm \sqrt{4 (x - 3)}$

Paso 1.2

Simplifica $\pm \sqrt{4 (x - 3)}$ .

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Paso 1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{2^{2} (x - 3)}$

Paso 1.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y - 2 = \pm 2 \sqrt{x - 3}$

Paso 1.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y - 2 = 2 \sqrt{x - 3}$

Paso 1.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Paso 1.3.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y - 2 = - 2 \sqrt{x - 3}$

Paso 1.3.4

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Paso 1.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation ${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(y - 2)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 3))$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Reescribe ${(y - 2)}^{2}$ como $(y - 2) (y - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(y - 2) (y - 2)]$

Paso 3.2.2

Expande $(y - 2) (y - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [y (y - 2) - 2 (y - 2)]$

Paso 3.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)]$

Paso 3.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Paso 3.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Paso 3.2.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Paso 3.2.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 y - 2 y + 4]$

Paso 3.2.3.2

Resta $2 y$ de $- 2 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 4 y + 4]$

Paso 3.2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 4 y + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.6

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.7

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 y$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.8

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.2.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 y y' - 4 y' + 0$

Paso 3.2.10

Suma $2 y y' - 4 y'$ y $0$ .

$2 y y' - 4 y'$

Paso 3.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 (x - 3)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x - 3]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 3.3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (1 + 0)$

Paso 3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$4 \cdot 1$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' - 4 y' = 4$

Paso 3.5

Resuelve $y'$

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Paso 3.5.1

Factoriza $2 y'$ de $2 y y' - 4 y'$ .

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Paso 3.5.1.1

Factoriza $2 y'$ de $2 y y'$ .

$2 y' y - 4 y' = 4$

Paso 3.5.1.2

Factoriza $2 y'$ de $- 4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2 = 4$

Paso 3.5.1.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' y + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (y - 2) = 4$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $2 y' (y - 2) = 4$ por $2 (y - 2)$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $2 y' (y - 2) = 4$ por $2 (y - 2)$ .

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Paso 3.5.2.2.2

Cancela el factor común de $y - 2$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Paso 3.5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2}{y - 2}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 2}$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2}{y - 2} = 0$ .

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Paso 4.1

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 4.2

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 5

No se obtiene ninguna solución al hacer que la derivada sea igual a $0$ , $\frac{2}{y - 2} = 0$ , por lo que no hay tangentes horizontales.

No se obtuvieron rectas tangentes horizontales

Paso 6