Cálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} = 26 y$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Paso 1.1

Resta $26 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} - 26 y = 0$

Paso 1.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 26$ y $c = x^{2}$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.1

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ como ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - 26$ y $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 \cdot (1 x)) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.3.2

Factoriza $2$ de $- 26 + 2 x$ .

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Paso 1.4.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 26$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(2 \cdot - 13 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.3.2.2

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 13 + 2 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.3.3

Combina exponentes.

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Paso 1.4.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.3.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.4

Factoriza $2$ de $- 26 - 2 x$ .

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Paso 1.4.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 26$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) + 2 (- x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (- 13) + 2 (- x)$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) \cdot (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{4 (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.6

Reescribe $4 (- 13 + x) (- 13 - x)$ como $2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.6.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$

Paso 1.4.3

Simplifica $\frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$ .

$y = 13 \pm \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

Paso 1.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ como ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - 26$ y $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 \cdot (1 x)) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.3

Simplifica.

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Paso 1.5.1.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.3.2

Factoriza $2$ de $- 26 + 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 26$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(2 \cdot - 13 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.3.2.2

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 13 + 2 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.3.3

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.3.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.4

Factoriza $2$ de $- 26 - 2 x$ .

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Paso 1.5.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 26$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) + 2 (- x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (- 13) + 2 (- x)$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) \cdot (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{4 (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.6

Reescribe $4 (- 13 + x) (- 13 - x)$ como $2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))$ .

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Paso 1.5.1.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.6.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$

Paso 1.5.3

Simplifica $\frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$ .

$y = 13 \pm \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

Paso 1.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

Paso 1.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1.1

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ como ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - 26$ y $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 \cdot (1 x)) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.3

Simplifica.

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Paso 1.6.1.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.3.2

Factoriza $2$ de $- 26 + 2 x$ .

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Paso 1.6.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 26$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(2 \cdot - 13 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.3.2.2

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 13 + 2 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.3.3

Combina exponentes.

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Paso 1.6.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.3.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.4

Factoriza $2$ de $- 26 - 2 x$ .

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Paso 1.6.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 26$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) + 2 (- x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (- 13) + 2 (- x)$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) \cdot (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{4 (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.6

Reescribe $4 (- 13 + x) (- 13 - x)$ como $2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))$ .

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Paso 1.6.1.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.6.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$

Paso 1.6.3

Simplifica $\frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$ .

$y = 13 \pm \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

Paso 1.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

Paso 1.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

$y = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

$y = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

$y = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)} \to f (x) = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

$y = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)} \to f (x) = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = 26 y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (26 y)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Diferencia.

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Paso 3.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 3.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Paso 3.2.3

Reordena los términos.

$2 y y' + 2 x$

Paso 3.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Como $26$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $26 y$ con respecto a $x$ es $26 \frac{d}{d x} [y]$ .

$26 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$26 y'$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' + 2 x = 26 y'$

Paso 3.5

Resuelve $y'$

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Paso 3.5.1

Resta $26 y'$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' + 2 x - 26 y' = 0$

Paso 3.5.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' - 26 y' = - 2 x$

Paso 3.5.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y y' - 26 y'$ .

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Paso 3.5.3.1

Factoriza $2 y'$ de $2 y y'$ .

$2 y' y - 26 y' = - 2 x$

Paso 3.5.3.2

Factoriza $2 y'$ de $- 26 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 13 = - 2 x$

Paso 3.5.3.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' y + 2 y' \cdot - 13$ .

$2 y' (y - 13) = - 2 x$

Paso 3.5.4

Divide cada término en $2 y' (y - 13) = - 2 x$ por $2 (y - 13)$ y simplifica.

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Paso 3.5.4.1

Divide cada término en $2 y' (y - 13) = - 2 x$ por $2 (y - 13)$ .

$\frac{2 y' (y - 13)}{2 (y - 13)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 13)}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (y - 13)}{2 (y - 13)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 13)}$

Paso 3.5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y - 13)}{y - 13} = \frac{- 2 x}{2 (y - 13)}$

Paso 3.5.4.2.2

Cancela el factor común de $y - 13$ .

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Paso 3.5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y - 13)}{y - 13} = \frac{- 2 x}{2 (y - 13)}$

Paso 3.5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y - 13)}$

Paso 3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 3.5.4.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 13)}$

Paso 3.5.4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.4.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 13)}$

Paso 3.5.4.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x}{y - 13}$

Paso 3.5.4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x}{y - 13}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y - 13}$

Paso 4

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

Paso 5

Solve the function $f (x) = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$ at $x = 0$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 13 + \sqrt{(- 13 + 0) (- 13 - (0))}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (0) = 13 + \sqrt{(- 13 + 0) (- 13 - (0))}$

Paso 5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1

Suma $- 13$ y $0$ .

$f (0) = 13 + \sqrt{- 13 (- 13 - (0))}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 13 + \sqrt{- 13 (- 13 + 0)}$

Paso 5.2.2.3

Suma $- 13$ y $0$ .

$f (0) = 13 + \sqrt{- 13 \cdot - 13}$

Paso 5.2.2.4

Multiplica $- 13$ por $- 13$ .

$f (0) = 13 + \sqrt{169}$

Paso 5.2.2.5

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

$f (0) = 13 + \sqrt{13^{2}}$

Paso 5.2.2.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (0) = 13 + 13$

Paso 5.2.3

Suma $13$ y $13$ .

$f (0) = 26$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $26$ .

$26$

Paso 6

Solve the function $f (x) = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$ at $x = 0$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 13 - \sqrt{(- 13 + 0) (- 13 - (0))}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (0) = 13 - \sqrt{(- 13 + 0) (- 13 - (0))}$

Paso 6.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1

Suma $- 13$ y $0$ .

$f (0) = 13 - \sqrt{- 13 (- 13 - (0))}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 13 - \sqrt{- 13 (- 13 + 0)}$

Paso 6.2.2.3

Suma $- 13$ y $0$ .

$f (0) = 13 - \sqrt{- 13 \cdot - 13}$

Paso 6.2.2.4

Multiplica $- 13$ por $- 13$ .

$f (0) = 13 - \sqrt{169}$

Paso 6.2.2.5

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

$f (0) = 13 - \sqrt{13^{2}}$

Paso 6.2.2.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (0) = 13 - 1 \cdot 13$

Paso 6.2.2.7

Multiplica $- 1$ por $13$ .

$f (0) = 13 - 13$

Paso 6.2.3

Resta $13$ de $13$ .

$f (0) = 0$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 7

The horizontal tangent lines are $y = 26, y = 0$

$y = 26, y = 0$

Paso 8