Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Paso 1.1

Resta $\frac{x^{2}}{16}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Paso 1.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Paso 1.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.1

Simplifica $4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Paso 1.3.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Paso 1.3.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{16}$ al numerador.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

Paso 1.3.2.1.3.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

Paso 1.3.2.1.3.3

Cancela el factor común.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 1.3.2.1.3.4

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

Paso 1.3.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

Paso 1.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

Paso 1.5

Simplifica $\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

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Paso 1.5.1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 1.5.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Paso 1.5.1.2

Reescribe $\frac{x^{2}}{4}$ como ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Paso 1.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Paso 1.5.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Paso 1.5.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Paso 1.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Paso 1.5.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Paso 1.5.7

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Paso 1.5.8

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Paso 1.5.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

Paso 1.5.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

Paso 1.5.11

Multiplica $\frac{4 + x}{2}$ por $\frac{4 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

Paso 1.5.12

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

Paso 1.5.13

Reescribe $\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

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Paso 1.5.13.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(4 + x) (4 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

Paso 1.5.13.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 1.5.13.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

Paso 1.5.14

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Paso 1.5.15

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Paso 1.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Paso 1.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Paso 1.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Paso 3.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}]$ .

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Paso 3.2.2.1

Como $\frac{1}{16}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{16}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Paso 3.2.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{16}$ .

$\frac{2}{16} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Paso 3.2.2.4

Combina $\frac{2}{16}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Paso 3.2.2.5

Cancela el factor común de $2$ y $16$ .

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Paso 3.2.2.5.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Paso 3.2.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Paso 3.2.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Paso 3.2.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Paso 3.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

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Paso 3.2.3.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{y^{2}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y y')$

Paso 3.2.3.4

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2}{4} (y y')$

Paso 3.2.3.5

Combina $y$ y $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2}{4} y'$

Paso 3.2.3.6

Combina $\frac{y \cdot 2}{4}$ y $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2 y'}{4}$

Paso 3.2.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 \cdot y y'}{4}$

Paso 3.2.3.8

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.2.3.8.1

Factoriza $2$ de $2 y y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{4}$

Paso 3.2.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.8.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

Paso 3.2.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

Paso 3.2.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2}$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2} = 0$

Paso 3.5

Resuelve $y'$

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Paso 3.5.1

Resta $\frac{x}{8}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y y'}{2} = - \frac{x}{8}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

Paso 3.5.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

Paso 3.5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y y' = 2 (- \frac{x}{8})$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.2.1

Simplifica $2 (- \frac{x}{8})$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{8}$ al numerador.

$y y' = 2 \frac{- x}{8}$

Paso 3.5.3.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$y y' = 2 \frac{- x}{2 (4)}$

Paso 3.5.3.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$y y' = 2 \frac{- x}{2 \cdot 4}$

Paso 3.5.3.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$y y' = \frac{- x}{4}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y y' = - \frac{x}{4}$

Paso 3.5.4

Divide cada término en $y y' = - \frac{x}{4}$ por $y$ y simplifica.

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Paso 3.5.4.1

Divide cada término en $y y' = - \frac{x}{4}$ por $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Paso 3.5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Paso 3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{y}$

Paso 3.5.4.3.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $\frac{x}{4}$ .

$y' = - \frac{x}{y \cdot 4}$

Paso 3.5.4.3.3

Mueve $4$ a la izquierda de $y$ .

$y' = - \frac{x}{4 y}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$

Paso 4

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

Paso 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Paso 5.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.1

Suma $4$ y $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

Paso 5.2.2.3

Suma $4$ y $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

Paso 5.2.2.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{16}}{2}$

Paso 5.2.2.5

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Paso 5.2.2.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (0) = \frac{4}{2}$

Paso 5.2.3

Divide $4$ por $2$ .

$f (0) = 2$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Paso 6.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1

Suma $4$ y $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

Paso 6.2.2.3

Suma $4$ y $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

Paso 6.2.2.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{16}}{2}$

Paso 6.2.2.5

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Paso 6.2.2.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (0) = - \frac{4}{2}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.1

Divide $4$ por $2$ .

$f (0) = - 1 \cdot 2$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (0) = - 2$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 7

The horizontal tangent lines are $y = 2, y = - 2$

$y = 2, y = - 2$

Paso 8