Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1

Hay tres tipos de simetría:

1. Simetría del eje X

2. Simetría del eje y

3. Simetría de origen

Paso 2

Si $(x, y)$ existe en la gráfica, entonces la gráfica es simétrica con respecto a:

1. Eje X si $(x, - y)$ existe en la gráfica

2. Eje y si $(- x, y)$ existe en la gráfica

3. Origen si $(- x, - y)$ existe en la gráfica

Paso 3

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 4.2

Eleva $\sqrt{x^{2} + 1}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 4.3

Eleva $\sqrt{x^{2} + 1}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1}}$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 4.6

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ como $x^{2} + 1$ .

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Paso 4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Paso 4.6.5

Simplifica.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Paso 5

Check if the graph is symmetric about the $x$ -axis by plugging in $- y$ for $y$ .

$- y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Paso 6

Como la ecuación no es idéntica a la ecuación original, no es simétrica con respecto al eje x.

No es simétrica con respecto al eje x

Paso 7

Check if the graph is symmetric about the $y$ -axis by plugging in $- x$ for $x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{{(- x)}^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Paso 8.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- x \sqrt{1 x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Paso 8.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}$

Paso 8.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{1 x^{2} + 1}$

Paso 8.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Paso 8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Paso 9

Como la ecuación no es idéntica a la ecuación original, no es simétrica con respecto al eje y.

No es simétrica con respecto al eje y

Paso 10

Comprueba si la gráfica es simétrica con respecto al origen mediante el ingreso de $- x$ para $x$ y $- y$ para $y$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{{(- x)}^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Paso 11.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{1 x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Paso 11.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}$

Paso 11.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{1 x^{2} + 1}$

Paso 11.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Paso 11.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Paso 12

Multiplica ambos lados por $- 1$ .

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Paso 12.1

Multiplica cada término por $- 1$ .

$- - y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Paso 12.2

Multiplica $- - y$ .

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Paso 12.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Paso 12.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Paso 12.3

Multiplica $- - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ .

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Paso 12.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Paso 12.3.2

Multiplica $\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ por $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Paso 13

Como la ecuación es idéntica a la ecuación original, es simétrica con respecto al origen.

Simétrica con respecto al origen

Paso 14