Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Determina si la función es impar, par o ninguna para obtener la simetría.

1. Si es impar, la función es simétrica con respecto al origen.

2. Si es par, la función es simétrica con respecto al eje y.

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1^{2}}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 3

Obtén $f (- x)$ .

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Paso 3.1

Obtén $f (- x)$ mediante la sustitución de $- x$ para todos los casos de $x$ en $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{{(- x)}^{2}}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$f (- x) = \frac{{(- 1)}^{2} x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Paso 3.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- x) = \frac{1 x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Paso 3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Paso 3.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

Paso 3.3.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

Paso 3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- (x - 1) (- x - 1)}$

Paso 3.3.4

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

Paso 3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

Paso 3.3.6

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

Paso 3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

Paso 3.3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.8.1

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

Paso 3.3.8.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{1 (x - 1) (x + 1)}$

Paso 3.3.8.3

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

Paso 4

Una función es par si $f (- x) = f (x)$ .

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Paso 4.1

Comprueba si $f (- x) = f (x)$ .

Paso 4.2

Como $\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ , la función no es par.

La función no es par

Paso 5

Una función es impar si $f (- x) = - f (x)$ .

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$- f (x) = - \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.2

Como $\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $- \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ , la función no es impar.

La función no es impar

Paso 6

La función no es par ni impar

Paso 7

Como la función no es impar, no es simétrica con respecto al origen.

No hay simetría de origen

Paso 8

Como la función no es par, no es simétrica con respecto al eje y.

No hay simetría del eje y

Paso 9

Como la función no es par ni impar, no hay simetría del origen/eje y.

La función no es simétrica

Paso 10