Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 x^{2}$ , $16 x + y + 6 = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $16 x$ de ambos lados de la ecuación.

$y + 6 = - 16 x$

Paso 1.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 16 x - 6$

Paso 2

Usa la ecuación explícita para obtener la pendiente.

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Paso 2.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 2.2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- 16$ .

$m = - 16$

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 (2 x)$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$16 x$

Paso 4

La primera derivada de una función representa la pendiente en cada punto de esa función. En este caso, la derivada de $f (x) = 8 x^{2}$ es $16 x$ y la pendiente de la recta dada $y = - 16 x - 6$ es $m = - 16$ . Para obtener el punto en $f (x) = 8 x^{2}$ donde la pendiente de la tangente es la misma que la pendiente de la recta dada $y = - 16 x - 6$ , sustituye el valor de la pendiente de la línea dada $- 16$ por el valor de $16 x$ .

$- 16 = 16 x$

Paso 5

Resuelve $- 16 = 16 x$ en $x$ para obtener la coordenada x del punto en el que la recta tangente es paralela a la línea dada $y = - 16 x - 6$ . En este caso, la coordenada x es $x = - 1$ .

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $16 x = - 16$ .

$16 x = - 16$

Paso 5.2

Divide cada término en $16 x = - 16$ por $16$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $16 x = - 16$ por $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 16}{16}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Divide $- 16$ por $16$ .

$x = - 1$

Paso 6

Sustituye $- 1$ en $f (x) = 8 x^{2}$ para obtener la coordenada y del punto en el que la tangente es paralela a la recta dada $y = - 16 x - 6$ . En este caso, la coordenada y es $8$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 8 {(- 1)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 8 \cdot 1$

Paso 6.2.2

Multiplica $8$ por $1$ .

$f (- 1) = 8$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $8$ .

$8$

Paso 7

El punto en $f (x) = 8 x^{2}$ donde la pendiente de la tangente es la misma que la pendiente de la línea dada. $y = - 16 x - 6$ tiene la coordenada x de $- 1$ y la coordenada y de $8$ . La pendiente de la tangente es la misma que la pendiente de $y = - 16 x - 6$ , que es $m = - 16$ .

$(- 1, 8), m = - 16$

Paso 8

La tangente en $(- 1, 8)$ donde la pendiente es $m = - 16$ .

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Paso 8.1

Obtén el valor de $b$ con la fórmula para la ecuación de una línea.

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Paso 8.1.1

Usa la fórmula para la ecuación de una línea para obtener $b$ .

$y = m x + b$

Paso 8.1.2

Sustituye el valor de $m$ en la ecuación.

$y = (- 16) \cdot x + b$

Paso 8.1.3

Sustituye el valor de $x$ en la ecuación.

$y = (- 16) \cdot (- 1) + b$

Paso 8.1.4

Sustituye el valor de $y$ en la ecuación.

$8 = (- 16) \cdot (- 1) + b$

Paso 8.1.5

Obtén el valor de $b$ .

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Paso 8.1.5.1

Reescribe la ecuación como $(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$ .

$(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$

Paso 8.1.5.2

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$16 + b = 8$

Paso 8.1.5.3

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.1.5.3.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$b = 8 - 16$

Paso 8.1.5.3.2

Resta $16$ de $8$ .

$b = - 8$

Paso 8.2

Ahora que se conocen los valores de $m$ (pendiente) y $b$ (intersección con y), sustitúyelos en $y = m x + b$ para obtener la ecuación de la línea.

$y = - 16 x - 8$

Paso 9