Cálculo Ejemplos

f (x) = 8 x^{2}

$f (x) = 8 x^{2}$ ,

16 x + y + 6 = 0

$16 x + y + 6 = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan

y

$y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta

16 x

$16 x$ de ambos lados de la ecuación.

y + 6 = - 16 x

$y + 6 = - 16 x$

Paso 1.2

Resta

6

$6$ de ambos lados de la ecuación.

y = - 16 x - 6

$y = - 16 x - 6$

y = - 16 x - 6

$y = - 16 x - 6$

Paso 2

Usa la ecuación explícita para obtener la pendiente.

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Paso 2.1

La ecuación explícita es

y = m x + b

$y = m x + b$ , donde

m

$m$ es la pendiente y

b

$b$ es la intersección con y.

y = m x + b

$y = m x + b$

Paso 2.2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es

- 16

$- 16$ .

m = - 16

$m = - 16$

m = - 16

$m = - 16$

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Como

8

$8$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

8 x^{2}

$8 x^{2}$ con respecto a

x

$x$ es

8 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

8 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 2

$n = 2$ .

8 (2 x)

$8 (2 x)$

Paso 3.3

Multiplica

2

$2$ por

8

$8$ .

16 x

$16 x$

16 x

$16 x$

Paso 4

La primera derivada de una función representa la pendiente en cada punto de esa función. En este caso, la derivada de

f (x) = 8 x^{2}

$f (x) = 8 x^{2}$ es

16 x

$16 x$ y la pendiente de la recta dada

y = - 16 x - 6

$y = - 16 x - 6$ es

m = - 16

$m = - 16$ . Para obtener el punto en

f (x) = 8 x^{2}

$f (x) = 8 x^{2}$ donde la pendiente de la tangente es la misma que la pendiente de la recta dada

y = - 16 x - 6

$y = - 16 x - 6$ , sustituye el valor de la pendiente de la línea dada

- 16

$- 16$ por el valor de

16 x

$16 x$ .

- 16 = 16 x

$- 16 = 16 x$

Paso 5

Resuelve

- 16 = 16 x

$- 16 = 16 x$ en

x

$x$ para obtener la coordenada x del punto en el que la recta tangente es paralela a la línea dada

y = - 16 x - 6

$y = - 16 x - 6$ . En este caso, la coordenada x es

x = - 1

$x = - 1$ .

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como

16 x = - 16

$16 x = - 16$ .

16 x = - 16

$16 x = - 16$

Paso 5.2

Divide cada término en

16 x = - 16

$16 x = - 16$ por

16

$16$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en

16 x = - 16

$16 x = - 16$ por

16

$16$ .

\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de

16

$16$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide

$x$ por

$1$ .

$x = \frac{- 16}{16}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Divide

$- 16$ por

$16$ .

$x = - 1$

Paso 6

Sustituye

$- 1$ en

$f (x) = 8 x^{2}$ para obtener la coordenada y del punto en el que la tangente es paralela a la recta dada

$y = - 16 x - 6$ . En este caso, la coordenada y es

$8$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 8 {(- 1)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$f (- 1) = 8 \cdot 1$

Paso 6.2.2

Multiplica

$8$ por

$1$ .

$f (- 1) = 8$

Paso 6.2.3

La respuesta final es

$8$ .

$8$

Paso 7

El punto en

$f (x) = 8 x^{2}$ donde la pendiente de la tangente es la misma que la pendiente de la línea dada.

$y = - 16 x - 6$ tiene la coordenada x de

$- 1$ y la coordenada y de

$8$ . La pendiente de la tangente es la misma que la pendiente de

$y = - 16 x - 6$ , que es

$m = - 16$ .

$(- 1, 8), m = - 16$

Paso 8

La tangente en

$(- 1, 8)$ donde la pendiente es

$m = - 16$ .

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Paso 8.1

Obtén el valor de

$b$ con la fórmula para la ecuación de una línea.

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Paso 8.1.1

Usa la fórmula para la ecuación de una línea para obtener

$b$ .

$y = m x + b$

Paso 8.1.2

Sustituye el valor de

$m$ en la ecuación.

$y = (- 16) \cdot x + b$

Paso 8.1.3

Sustituye el valor de

$x$ en la ecuación.

$y = (- 16) \cdot (- 1) + b$

Paso 8.1.4

Sustituye el valor de

$y$ en la ecuación.

$8 = (- 16) \cdot (- 1) + b$

Paso 8.1.5

Obtén el valor de

$b$ .

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Paso 8.1.5.1

Reescribe la ecuación como

$(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$ .

$(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$

Paso 8.1.5.2

Multiplica

$- 16$ por

$- 1$ .

$16 + b = 8$

Paso 8.1.5.3

Mueve todos los términos que no contengan

$b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.1.5.3.1

Resta

$16$ de ambos lados de la ecuación.

$b = 8 - 16$

Paso 8.1.5.3.2

Resta

$16$ de

$8$ .

$b = - 8$

Paso 8.2

Ahora que se conocen los valores de

$m$ (pendiente) y

$b$ (intersección con y), sustitúyelos en

$y = m x + b$ para obtener la ecuación de la línea.

$y = - 16 x - 8$

Paso 9