Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 2$ , $(1, - 1)$

Paso 1

Comprueba si el punto dado está en la gráfica de la función dada.

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Paso 1.1

Evalúa $f (x) = x^{3} - 2$ en $x = 1$ .

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Paso 1.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{3} - 2$

Paso 1.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 1.1.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 2$

Paso 1.1.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$f (1) = - 1$

Paso 1.1.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 1.2

Como $- 1 = - 1$ , el punto está en la gráfica.

El punto está en la gráfica.

Paso 2

La pendiente de la tangente es la derivada de la expresión.

$m$ $=$ La derivada de $f (x) = x^{3} - 2$

Paso 3

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 4

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 4.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Paso 4.1.2.2

La respuesta final es $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Paso 4.2

Reordena.

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Paso 4.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Paso 4.2.2

Mueve $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2$

Paso 4.2.3

Mueve $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 2$

Paso 4.2.4

Mueve $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

Paso 4.2.5

Reordena $3 h^{2} x$ y $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

Paso 4.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

Paso 5

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - (x^{3} - 2)}{h}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

Paso 6.1.3

Resta $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0 - 2 + 2}{h}$

Paso 6.1.4

Suma $h^{3}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 + 2}{h}$

Paso 6.1.5

Suma $- 2$ y $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

Paso 6.1.6

Suma $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Paso 6.1.7

Factoriza $h$ de $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ .

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Paso 6.1.7.1

Factoriza $h$ de $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Paso 6.1.7.2

Factoriza $h$ de $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

Paso 6.1.7.3

Factoriza $h$ de $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Paso 6.1.7.4

Factoriza $h$ de $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Paso 6.1.7.5

Factoriza $h$ de $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Paso 6.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Paso 6.2.1.2

Divide $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

Paso 6.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.1

Mueve $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

Paso 6.2.2.2

Mueve $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

Paso 6.2.2.3

Reordena $3 x h$ y $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Paso 8

Evalúa el límite de $3 x^{2}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Paso 9

Mueve el término $3 x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Paso 10

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Multiplica $3 x \cdot 0$ .

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Paso 12.1.1.1

Multiplica $0$ por $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

Paso 12.1.1.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

Paso 12.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Paso 12.2

Combina los términos opuestos en $3 x^{2} + 0 + 0$ .

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Paso 12.2.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 12.2.2

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$

Paso 13

Obtén la pendiente $m$ . En este caso, $m = 3$ .

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Paso 13.1

Elimina los paréntesis.

$m = 3 \cdot 1^{2}$

Paso 13.2

Simplifica $3 \cdot 1^{2}$ .

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Paso 13.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$m = 3 \cdot 1$

Paso 13.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$m = 3$

Paso 14

La pendiente es $m = 3$ y el punto es $(1, - 1)$ .

$m = 3, (1, - 1)$

Paso 15

Obtén el valor de $b$ con la fórmula para la ecuación de una línea.

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Paso 15.1

Usa la fórmula para la ecuación de una línea para obtener $b$ .

$y = m x + b$

Paso 15.2

Sustituye el valor de $m$ en la ecuación.

$y = (3) \cdot x + b$

Paso 15.3

Sustituye el valor de $x$ en la ecuación.

$y = (3) \cdot (1) + b$

Paso 15.4

Sustituye el valor de $y$ en la ecuación.

$- 1 = (3) \cdot (1) + b$

Paso 15.5

Obtén el valor de $b$ .

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Paso 15.5.1

Reescribe la ecuación como $(3) \cdot (1) + b = - 1$ .

$(3) \cdot (1) + b = - 1$

Paso 15.5.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + b = - 1$

Paso 15.5.3

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 15.5.3.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$b = - 1 - 3$

Paso 15.5.3.2

Resta $3$ de $- 1$ .

$b = - 4$

Paso 16

Ahora que se conocen los valores de $m$ (pendiente) y $b$ (intersección con y), sustitúyelos en $y = m x + b$ para obtener la ecuación de la línea.

$y = 3 x - 4$

Paso 17