Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ , $(1, 2)$

Paso 1

Comprueba si el punto dado está en la gráfica de la función dada.

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Paso 1.1

Evalúa $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ en $x = 1$ .

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Paso 1.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 6$

Paso 1.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 6$

Paso 1.1.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 5 + 6$

Paso 1.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.1.2.2.1

Resta $5$ de $1$ .

$f (1) = - 4 + 6$

Paso 1.1.2.2.2

Suma $- 4$ y $6$ .

$f (1) = 2$

Paso 1.1.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 1.2

Como $2 = 2$ , el punto está en la gráfica.

El punto está en la gráfica.

Paso 2

La pendiente de la tangente es la derivada de la expresión.

$m$ $=$ La derivada de $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Paso 3

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 4

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 4.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 5 (x + h) + 6$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Paso 4.1.2.1.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Paso 4.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Paso 4.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

Paso 4.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

Paso 4.1.2.1.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Paso 4.1.2.1.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 4.1.2.1.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Paso 4.1.2.1.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Paso 4.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

Paso 4.1.2.2

La respuesta final es $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

Paso 4.2

Reordena.

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Paso 4.2.1

Mueve $- 5 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Paso 4.2.2

Mueve $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Paso 4.2.3

Reordena $2 h x$ y $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Paso 4.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Paso 5

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - (x^{2} - 5 x + 6)}{h}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6}{h}$

Paso 6.1.2

Simplifica.

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6}{h}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 6}{h}$

Paso 6.1.3

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 0 + 5 x - 6}{h}$

Paso 6.1.4

Suma $h^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 5 x - 6}{h}$

Paso 6.1.5

Suma $- 5 x$ y $5 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0 + 6 - 6}{h}$

Paso 6.1.6

Suma $h^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 6 - 6}{h}$

Paso 6.1.7

Resta $6$ de $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0}{h}$

Paso 6.1.8

Suma $h^{2} + 2 h x - 5 h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h}{h}$

Paso 6.1.9

Factoriza $h$ de $h^{2} + 2 h x - 5 h$ .

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Paso 6.1.9.1

Factoriza $h$ de $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x - 5 h}{h}$

Paso 6.1.9.2

Factoriza $h$ de $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) - 5 h}{h}$

Paso 6.1.9.3

Factoriza $h$ de $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot - 5}{h}$

Paso 6.1.9.4

Factoriza $h$ de $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot - 5}{h}$

Paso 6.1.9.5

Factoriza $h$ de $h (h + 2 x) + h \cdot - 5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

Paso 6.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

Paso 6.2.1.2

Divide $h + 2 x - 5$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x - 5$

Paso 6.2.2

Reordena $h$ y $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h - 5$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $2 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Paso 7.3

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

Paso 8

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$2 x + 0 - 1 \cdot 5$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x - 1 \cdot 5$

Paso 9.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$2 x - 5$

Paso 10

Simplifica $2 (1) - 5$ .

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Paso 10.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$m = 2 - 5$

Paso 10.2

Resta $5$ de $2$ .

$m = - 3$

Paso 11

La pendiente es $m = - 3$ y el punto es $(1, 2)$ .

$m = - 3, (1, 2)$

Paso 12

Obtén el valor de $b$ con la fórmula para la ecuación de una línea.

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Paso 12.1

Usa la fórmula para la ecuación de una línea para obtener $b$ .

$y = m x + b$

Paso 12.2

Sustituye el valor de $m$ en la ecuación.

$y = (- 3) \cdot x + b$

Paso 12.3

Sustituye el valor de $x$ en la ecuación.

$y = (- 3) \cdot (1) + b$

Paso 12.4

Sustituye el valor de $y$ en la ecuación.

$2 = (- 3) \cdot (1) + b$

Paso 12.5

Obtén el valor de $b$ .

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Paso 12.5.1

Reescribe la ecuación como $(- 3) \cdot (1) + b = 2$ .

$(- 3) \cdot (1) + b = 2$

Paso 12.5.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3 + b = 2$

Paso 12.5.3

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.5.3.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$b = 2 + 3$

Paso 12.5.3.2

Suma $2$ y $3$ .

$b = 5$

Paso 13

Ahora que se conocen los valores de $m$ (pendiente) y $b$ (intersección con y), sustitúyelos en $y = m x + b$ para obtener la ecuación de la línea.

$y = - 3 x + 5$

Paso 14