Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$ , $(0, 1)$

Paso 1

Comprueba si el punto dado está en la gráfica de la función dada.

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Paso 1.1

Evalúa $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ en $x = 0$ .

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Paso 1.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{1}{(0) + 1}$

Paso 1.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 1.1.2.1

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

Paso 1.1.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$f (0) = 1$

Paso 1.1.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 1.2

Como $1 = 1$ , el punto está en la gráfica.

El punto está en la gráfica.

Paso 2

La pendiente de la tangente es la derivada de la expresión.

$m$ $=$ La derivada de $f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Paso 3

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 4

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 4.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

Paso 4.1.2.2

La respuesta final es $\frac{1}{x + h + 1}$ .

$\frac{1}{x + h + 1}$

Paso 4.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Paso 5

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Para escribir $\frac{1}{x + h + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

Paso 6.1.2

Para escribir $- \frac{1}{x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Paso 6.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h + 1) (x + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{x + h + 1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Paso 6.1.3.2

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 6.1.3.3

Reordena los factores de $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 6.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 6.1.5

Reescribe $\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ en forma factorizada.

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Paso 6.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 6.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 6.1.5.3

Resta $x$ de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 6.1.5.4

Suma $0$ y $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 6.1.5.5

Resta $1$ de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 6.1.5.6

Suma $- h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 6.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Paso 6.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 6.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ al numerador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 6.3.2

Factoriza $h$ de $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 6.3.3

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 6.3.4

Reescribe la expresión.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Paso 6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Paso 7.2

Mueve el término $\frac{1}{x + 1}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- \frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Paso 7.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Paso 7.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Paso 7.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Paso 7.6

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Paso 7.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Paso 8

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Suma $x$ y $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Paso 9.2

Multiplica $- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

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Paso 9.2.1

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

Paso 9.2.2

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Paso 9.2.3

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Paso 9.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Paso 9.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 10

Obtén la pendiente $m$ . En este caso, $m = - 1$ .

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Paso 10.1

Elimina los paréntesis.

$m = - \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis.

$m = - \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

Paso 10.3

Simplifica $- \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$ .

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Paso 10.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 10.3.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$m = - \frac{1}{1^{2}}$

Paso 10.3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$m = - \frac{1}{1}$

Paso 10.3.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 10.3.2.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 10.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$m = - \frac{1}{1}$

Paso 10.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$m = - 1 \cdot 1$

Paso 10.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$m = - 1$

Paso 11

La pendiente es $m = - 1$ y el punto es $(0, 1)$ .

$m = - 1, (0, 1)$

Paso 12

Obtén el valor de $b$ con la fórmula para la ecuación de una línea.

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Paso 12.1

Usa la fórmula para la ecuación de una línea para obtener $b$ .

$y = m x + b$

Paso 12.2

Sustituye el valor de $m$ en la ecuación.

$y = (- 1) \cdot x + b$

Paso 12.3

Sustituye el valor de $x$ en la ecuación.

$y = (- 1) \cdot (0) + b$

Paso 12.4

Sustituye el valor de $y$ en la ecuación.

$1 = (- 1) \cdot (0) + b$

Paso 12.5

Obtén el valor de $b$ .

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Paso 12.5.1

Reescribe la ecuación como $(- 1) \cdot (0) + b = 1$ .

$(- 1) \cdot (0) + b = 1$

Paso 12.5.2

Simplifica $(- 1) \cdot (0) + b$ .

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Paso 12.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + b = 1$

Paso 12.5.2.2

Suma $0$ y $b$ .

$b = 1$

Paso 13

Ahora que se conocen los valores de $m$ (pendiente) y $b$ (intersección con y), sustitúyelos en $y = m x + b$ para obtener la ecuación de la línea.

$y = - x + 1$

Paso 14