Cálculo Ejemplos

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 + \sin (2 x) = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (2 x) = - 1$

Paso 2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x = \arcsin (- 1)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$2 x = - \frac{π}{2}$

Paso 2.4

Divide cada término en $2 x = - \frac{π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.1

Divide cada término en $2 x = - \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.4.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 2.4.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 2.5

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 2.6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 2.6.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 2.6.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.6.3

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.6.3.1

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 2.6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 2.6.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 2.6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.6.3.3.2

Multiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.6.3.3.2.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Paso 2.6.3.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 2.7

Obtén el período de $\sin (2 x)$ .

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Paso 2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.7.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 2.7.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.8

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 2.8.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Paso 2.8.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 2.8.3

Combina fracciones.

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Paso 2.8.3.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 2.8.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 2.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 2.8.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Paso 2.8.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 2.9

El período de la función $\sin (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.10

Consolida las respuestas.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Paso 5

Determina el dominio y el rango.

Dominio: ${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ , para cualquier número entero $n$

Rango: $(- \infty, - 1] \cup [1, \infty), {y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Paso 6