Cálculo Ejemplos

$\sqrt{x}$ , $(1, 1)$

Paso 1

Escribe $\sqrt{x}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{x}$

Paso 2

Comprueba si el punto dado está en la gráfica de la función dada.

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Paso 2.1

Evalúa $f (x) = \sqrt{x}$ en $x = 1$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \sqrt{1}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (1) = \sqrt{1}$

Paso 2.1.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = 1$

Paso 2.1.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 2.2

Como $1 = 1$ , el punto está en la gráfica.

El punto está en la gráfica.

Paso 3

La pendiente de la tangente es la derivada de la expresión.

$m$ $=$ La derivada de $f (x) = \sqrt{x}$

Paso 4

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 5

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 5.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 5.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Paso 5.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Paso 5.1.2.2

La respuesta final es $\sqrt{x + h}$ .

$\sqrt{x + h}$

Paso 5.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

Paso 6

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - (\sqrt{x})}{h}$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $\sqrt{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$

Paso 8

Como no hay valores a la izquierda de $0$ en el dominio de $\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$ , el límite no existe.

$No existe$

Paso 9

Obtén la pendiente $m$ . En este caso, $m = D o e s (n o t) (e (1) i s t)$ .

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Paso 9.1

Multiplica $e$ por $1$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))$

Paso 9.2

Elimina los paréntesis.

$m = D o e s (n o t) (e (1) i s t)$

Paso 10

La pendiente es $m = D o e s (n o t) (e (1) i s t)$ y el punto es $(1, 1)$ .

$m = D o e s (n o t) (e (1) i s t)$

$m = (1, 1)$

Paso 11

Multiplica $e$ por $1$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))$

Paso 12

Obtén el valor de $b$ con la fórmula para la ecuación de una línea.

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Paso 12.1

Usa la fórmula para la ecuación de una línea para obtener $b$ .

$y = m x + b$

Paso 12.2

Sustituye el valor de $m$ en la ecuación.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))) \cdot x + b$

Paso 12.3

Sustituye el valor de $x$ en la ecuación.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))) \cdot (1) + b$

Paso 12.4

Sustituye el valor de $y$ en la ecuación.

$1 = (D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))) \cdot (1) + b$

Paso 12.5

Obtén el valor de $b$ .

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Paso 12.5.1

Reescribe la ecuación como $D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1 + b = 1$ .

$D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1 + b = 1$

Paso 12.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.5.2.1

Multiplica $o$ por $o$ sumando los exponentes.

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Paso 12.5.2.1.1

Mueve $o$ .

$D (o \cdot o) e s (n t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1 + b = 1$

Paso 12.5.2.1.2

Multiplica $o$ por $o$ .

$D o^{2} e s (n t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1 + b = 1$

Paso 12.5.2.2

Simplifica $D o^{2} e s (n t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1$ .

$D o^{2} e s (n t) (e \cdot (i s t)) + b = 1$

Paso 12.5.2.3

Multiplica $s$ por $s$ sumando los exponentes.

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Paso 12.5.2.3.1

Mueve $s$ .

$D o^{2} e (s \cdot s) (n t) (e \cdot (i t)) + b = 1$

Paso 12.5.2.3.2

Multiplica $s$ por $s$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t) (e \cdot (i t)) + b = 1$

Paso 12.5.2.4

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 12.5.2.4.1

Mueve $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n (t \cdot t)) (e \cdot (i)) + b = 1$

Paso 12.5.2.4.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t^{2}) (e \cdot (i)) + b = 1$

Paso 12.5.2.5

Multiplica $D o^{2} e s^{2} n t^{2} (e i)$ .

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Paso 12.5.2.5.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (e^{1} e i) + b = 1$

Paso 12.5.2.5.2

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (e^{1} e^{1} i) + b = 1$

Paso 12.5.2.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (e^{1 + 1} i) + b = 1$

Paso 12.5.2.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (e^{2} i) + b = 1$

$D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i + b = 1$

Paso 12.5.3

Resta $D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$ de ambos lados de la ecuación.

$b = 1 - D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Paso 13

Ahora que se conocen los valores de $m$ (pendiente) y $b$ (intersección con y), sustitúyelos en $y = m x + b$ para obtener la ecuación de la línea.

$y = D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i x + 1 - D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Paso 14