Cálculo Ejemplos

$4 \tan (3 x) \sec (3 x) + e^{- 2 x} + 6 x$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 \tan (3 x) \sec (3 x) + e^{- 2 x} + 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x) \sec (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x) \sec (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x) \sec (3 x)]$ .

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \tan (3 x) \sec (3 x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x) \sec (3 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x) \sec (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \tan (3 x)$ y $g (x) = \sec (3 x)$ .

$4 (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)] + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x$ .

$4 (\tan (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sec (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.6.2

La derivada de $\tan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec^{2} (u_{2})$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.9

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.10

Mueve $3$ a la izquierda de $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$4 (\tan (3 x) (3 \cdot (\sec (3 x) \tan (3 x))) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.11

Eleva $\tan (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) (\tan^{1} (3 x) \tan (3 x)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.12

Eleva $\tan (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) (\tan^{1} (3 x) \tan^{1} (3 x)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (3 \sec (3 x) {\tan (3 x)}^{1 + 1} + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.14

Suma $1$ y $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.15

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) \cdot 3)) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.16

Mueve $3$ a la izquierda de $\sec^{2} (3 x)$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + \sec (3 x) (3 \cdot \sec^{2} (3 x))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.17

Eleva $\sec (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 (\sec^{1} (3 x) \sec^{2} (3 x))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 {\sec (3 x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.19

Suma $1$ y $2$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 x$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $- 2 x$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + \frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $- 2 x$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 3.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 3.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + e^{- 2 x} \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 3.5

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- 2 x}$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 4.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + 6 \cdot 1$

Paso 4.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + 6$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x)) + 4 (3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + 6$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 (\sec (3 x) \tan^{2} (3 x)) + 4 (3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + 6$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 12 \sec^{3} (3 x) - 2 e^{- 2 x} + 6$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$12 \tan^{2} (3 x) \sec (3 x) + 6 - 2 e^{- 2 x} + 12 \sec^{3} (3 x)$