Cálculo Ejemplos

$f (x) = \log_{8} (\frac{x - 8}{x})$

Paso 1

Establece el argumento en $\log_{8} (\frac{x - 8}{x})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{x - 8}{x} > 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$x - 8 = 0$

Paso 2.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 2.3

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = 8$

Paso 2.4

Consolida las soluciones.

$x = 0, 8$

Paso 2.5

Obtén el dominio de $\frac{x - 8}{x}$ .

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Paso 2.5.1

Establece el denominador en $\frac{x - 8}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 2.5.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 2.6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 8$

$x > 8$

Paso 2.7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 2.7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 2) - 8}{- 2} > 0$

Paso 2.7.1.3

$5$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.7.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.7.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 2.7.2.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{(4) - 8}{4} > 0$

Paso 2.7.2.3

$- 1$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 2.7.3.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$\frac{(10) - 8}{10} > 0$

Paso 2.7.3.3

$0.2$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Verdadero

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Verdadero

Paso 2.8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 0$ o $x > 8$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{x - 8}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (8, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x < 0, x > 8}$

Paso 5

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \neq 0}$

Paso 6

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, 0) \cup (8, \infty), {x | x < 0, x > 8}$

Rango: $(- \infty, 0) \cup (0, \infty), {y | y \neq 0}$

Paso 7