Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{x + 4}{x \cdot x - 4} \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 4 = 0$

$x \cdot x - 4 = 0$

Paso 2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.4

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 4$

Paso 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 2.6

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 2.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.6.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 2.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 2.7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 2.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 2.8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 4$

$x = 2, - 2$

Paso 2.9

Consolida las soluciones.

$x = - 4, 2, - 2$

Paso 2.10

Obtén el dominio de $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ .

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Paso 2.10.1

Establece el denominador en $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \cdot x - 4 = 0$

Paso 2.10.2

Resuelve $x$

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Paso 2.10.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.10.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 4$

Paso 2.10.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 2.10.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 2.10.2.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.10.2.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 2.10.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.10.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 2.10.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 2.10.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 2.10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 2.11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Paso 2.12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 2.12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 6) + 4}{(- 6) (- 6) - 4} \geq 0$

Paso 2.12.1.3

$- 0.0625$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 2.12.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 3) + 4}{(- 3) (- 3) - 4} \geq 0$

Paso 2.12.2.3

$0.2$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.12.3

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.12.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) + 4}{(0) (0) - 4} \geq 0$

Paso 2.12.3.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 2.12.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{(4) + 4}{(4) (4) - 4} \geq 0$

Paso 2.12.4.3

$0.\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 2.13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 \leq x < - 2$ o $x > 2$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \cdot x - 4 = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Paso 4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 4$

Paso 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 4.4

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 4.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 4.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 4, - 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 4 \leq x < - 2, x > 2}$

Paso 6

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \geq 0}$

Paso 7

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[- 4, - 2) \cup (2, \infty), {x | - 4 \leq x < - 2, x > 2}$

Rango: $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

Paso 8