Cálculo Ejemplos

$(- 5 + 27 i) - (- 12 i + 8) + {(- 2 i)}^{3}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 + 27 i - (- 12 i) - 1 \cdot 8 + {(- 2 i)}^{3}$

Paso 1.2

Multiplica $- 12$ por $- 1$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 1 \cdot 8 + {(- 2 i)}^{3}$

Paso 1.3

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 + {(- 2 i)}^{3}$

Paso 1.4

Aplica la regla del producto a $- 2 i$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 + {(- 2)}^{3} i^{3}$

Paso 1.5

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 - 8 i^{3}$

Paso 1.6

Factoriza $i^{2}$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 - 8 (i^{2} \cdot i)$

Paso 1.7

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 - 8 (- 1 \cdot i)$

Paso 1.8

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 - 8 (- i)$

Paso 1.9

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 + 8 i$

Paso 2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.1

Resta $8$ de $- 5$ .

$- 13 + 27 i + 12 i + 8 i$

Paso 2.2

Suma $27 i$ y $12 i$ .

$- 13 + 39 i + 8 i$

Paso 2.3

Suma $39 i$ y $8 i$ .

$- 13 + 47 i$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = - 13$ y $b = 47$ .

$| z | = \sqrt{47^{2} + {(- 13)}^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Eleva $47$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{2209 + {(- 13)}^{2}}$

Paso 6.2

Eleva $- 13$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{2209 + 169}$

Paso 6.3

Suma $2209$ y $169$ .

$| z | = \sqrt{2378}$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{47}{- 13})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{47}{- 13}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $1.84064548$ .

$θ = 1.84064548$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = 1.84064548$ y $| z | = \sqrt{2378}$ .

$\sqrt{2378} (\cos (1.84064548) + i \sin (1.84064548))$